Анализировать функцию и построить график: y = x^4 - 8x^2

Хорошо, давайте проанализируем данную функцию и построим ее график.

Формула функции: \(y = x^4 - 8x^2\)

Шаг 1: Определение области определения функции
Функция \(y = x^4 - 8x^2\) определена для любого значения x, так как возведение в четвертую степень и вычитание числа не ограничивают значения переменной x.

Шаг 2: Определение четности или нечетности функции
Для этого заменим переменную x на (-x) и сравним исходную функцию с полученной:

\[f(x) = x^4 - 8x^2\]
\[f(-x) = (-x)^4 - 8(-x)^2\]
\[f(-x) = x^4 - 8x^2\]

Получили, что функция симметрична относительно оси ординат (у), то есть функция является четной.

Шаг 3: Найдем точки пересечения с осями координат (нулями функции)
Для этого приравняем функцию \(y\) к нулю и решим уравнение:

\[x^4 - 8x^2 = 0\]

Можно вынести общий множитель:

\[x^2(x^2 - 8) = 0\]

Получаем два возможных решения:

a) \(x^2 = 0\) - это имеет единственное решение - \(x = 0\).

b) \(x^2 - 8 = 0\) - решая это уравнение, получим \(x = \sqrt{8}\) и \(x = -\sqrt{8}\).

Таким образом, имеем три точки пересечения с осями координат: (0, 0), (\(\sqrt{8}\), 0) и (-\(\sqrt{8}\), 0).

Шаг 4: Анализ поведения функции в окрестности нулей
Для этого найдем производную функции и проанализируем знаки производной в окрестностях особых точек:

\[y = x^4 - 8x^2\]

Найдем производную функции:

\[y" = 4x^3 - 16x\]

Производная равна нулю, когда \(4x^3 - 16x = 0\) (помещая производную равную нулю, мы ищем точки экстремума).

Можем вынести общий множитель и решить уравнение:

\[4x(x^2 - 4) = 0\]

Тогда получаем два возможных решения:

a) \(x = 0\) - это имеет единственное решение и соответствует точке экстремума.

b) \(x^2 - 4 = 0\) - решая это уравнение, получим \(x = 2\) и \(x = -2\). Эти точки также соответствуют экстремумам функции.

Мы получили, что функция имеет три точки экстремума: (0, 0), (2, -24) и (-2, -24).

Теперь анализируем знаки производной и поведение функции в окрестностях точек экстремума:

а) В интервале \((-\infty, -2)\) производная \(y"\) отрицательна, значит функция \(y\) убывает.
б) В интервале \((-2, 0)\) производная \(y"\) положительна, значит функция \(y\) возрастает.
в) В интервале \((0, 2)\) производная \(y"\) отрицательна, значит функция \(y\) убывает.
г) В интервале \((2, +\infty)\) производная \(y"\) положительна, значит функция \(y\) возрастает.

Шаг 5: Построение графика функции
Построим график функции, используя полученную информацию:

Начиная с точки (-\(\sqrt{8}\), 0), график будет идти вниз до точки (0, 0), затем поднимется до точки (2, -24), и затем пойдет вверх.

Таким образом, мы получаем график функции \(y = x^4 - 8x^2\), который имеет форму симметричной параболы, открытой вверх и проходящей через точки (0, 0), (\(\sqrt{8}\), 0) и (-\(\sqrt{8}\), 0), а также имеет точки экстремума (0, 0), (2, -24) и (-2, -24).

Я надеюсь, эта информация позволит вам более полно понять данную функцию и построить ее график.