АЛГЕБРА 11 КЛАСС 9. Какое число следует прибавить к числу 7, 5-2 корень из 5i, чтобы оно превратилось в 1) реальное

9. Чтобы число \(7 + 5 - 2\sqrt{5i}\) стало реальным, нужно прибавить число, обладающее такой же мнимой частью (\(\sqrt{5i}\)), но с противоположным знаком. Таким образом, мы можем вычислить:

\[
7 + 5 - 2\sqrt{5i} + 2\sqrt{5i} = 12
\]

Таким образом, нам нужно прибавить число 5, чтобы число \(7 + 5 - 2\sqrt{5i}\) стало реальным.

Чтобы число \(7 + 5 - 2\sqrt{5i}\) стало чисто мнимым, нам нужно изначально иметь нулевую действительную часть. В данном случае, действительная часть равна 12. Значит, нам нужно вычесть число 12, чтобы число \(7 + 5 - 2\sqrt{5i}\) стало чисто мнимым.

10.

2) Найдем реальные числа \(x\) и \(y\), уравнение \(x - 2yi = -1 - \sqrt{3i}\):

Разделим уравнение на \(-2i\):

\[
\frac{x - 2yi}{-2i} = \frac{-1 - \sqrt{3i}}{-2i}
\]

\[
\frac{x}{-2i} - \frac{2yi}{-2i} = \frac{-1}{-2i} - \frac{\sqrt{3i}}{-2i}
\]

Далее, применим свойство сопряженных чисел: \(\bar{z} = a - bi\). Сопряженное число для \(x\), обозначим его \(\bar{x}\), будет \(x - 2yi\). Таким образом:

\[
\bar{x} = \frac{-1}{-2i} - \frac{\sqrt{3i}}{-2i}
\]

Упростим:

\[
\bar{x} = \frac{1}{2i} - \frac{\sqrt{3i}}{-2i} = \frac{1 - \sqrt{3i}}{2i} = \frac{1}{2i} + \frac{\sqrt{3i}}{2i}
\]

Теперь, рассмотрим только мнимую часть числа, так как она равна \(2y\):

\[
2y = \frac{\sqrt{3i}}{2i}
\]

Разделим обе части на 2:

\[
y = \frac{\sqrt{3i}}{4i}
\]

Таким образом, мы получили, что \(x = \frac{1}{2i} + \frac{\sqrt{3i}}{2i}\) и \(y = \frac{\sqrt{3i}}{4i}\).

4) Разделим уравнение на \((-3 + \frac{y - 3}{4}i)\):

\[
\frac{-3x + (y - \frac{3}{4}i)}{-3 + \frac{y - 3}{4}i} = \frac{1,5 + \frac{1}{4}i}{-3 + \frac{y - 3}{4}i}
\]

Упростим дробь в числителе:

\[
\frac{1,5 + \frac{1}{4}i}{-3 + \frac{y - 3}{4}i} = \frac{\frac{6}{4} + \frac{1}{4}i}{-3 + \frac{y - 3}{4}i} = \frac{\frac{7}{4}i}{-3 + \frac{y - 3}{4}i}
\]

Таким образом, мы получили уравнение \(-3x + (y - \frac{3}{4}i) = \frac{\frac{7}{4}i}{-3 + \frac{y - 3}{4}i}\).

6) Разделим уравнение на \((5 - 1)i\):

\[
\frac{(5x - y) + (x + y)i}{(5 - 1)i} = \frac{7 - i}{(5 - 1)i}
\]

Упростим числитель и знаменатель:

\[
\frac{6x + yi}{4i} = \frac{7 - i}{4i}
\]

Далее, применим свойство сопряженных чисел: \(\bar{z} = a - bi\). Сопряженное число для \(6x + yi\), обозначим его \(\overline{6x + yi}\), будет \(6x - yi\). Таким образом:

\[
\overline{6x + yi} = \frac{7 - i}{4i}
\]

Упростим:

\[
6x - yi = \frac{7}{4i} - \frac{1}{4}
\]

Теперь, рассмотрим только мнимую часть числа, так как она равна \(2x\):

\[
-2x = \frac{7}{4i} - \frac{1}{4i}
\]

Суммируем дроби:

\[
-2x = \frac{7 - 1}{4i} = \frac{6}{4i} = \frac{3}{2i}
\]

Переведем в эквивалентную форму:

\[
-2x = \frac{3}{2i} \cdot \frac{-2i}{-2i} = -\frac{3i}{2}
\]

Таким образом, мы получили, что \(x = \frac{3}{4i}\).

14.

2) Разделим уравнение на \((2 + 5yi)\):

\[
\frac{(2x + 5yi) + (y + xi)}{2 + 5yi} = \frac{2 + i}{2 + 5yi}
\]

Упростим числитель и знаменатель:

\[
\frac{2x + 5yi + y + xi}{2 + 5yi} = \frac{2 + i}{2 + 5yi}
\]

Раскроем скобки:

\[
\frac{2x + y + (5y + x)i}{2 + 5yi} = \frac{2 + i}{2 + 5yi}
\]

Сопоставим действительные и мнимые части уравнения:

Действительная часть:

\[
2x + y = 2
\]

Мнимая часть:

\[
5y + x = 1
\]

Таким образом, мы получили систему уравнений:

\[
\begin{cases}
2x + y = 2 \\
5y + x = 1
\end{cases}
\]

Решим данную систему методом подстановки или любым другим способом.

4) Разделим уравнение на \(1/x\):

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{i}{x} = \frac{3}{x} - \frac{i}{y} + 3i
\]

Упростим дроби:

\[
\frac{1 + y + ix}{x} = \frac{3 - ix}{x} - \frac{i}{y} + 3i
\]

Разделим на \(i\) и упростим:

\[
\frac{1 + y + ix}{ix} = \frac{3x - i}{x} - \frac{i}{y} + 3i
\]

Раскроем дроби:

\[
\frac{(1 + y + ix)y}{ixy} = \frac{(3 - ix)y - xi}{xy} - \frac{iy}{y} + 3iy
\]

Упростим числитель:

\[
\frac{y + y^2 + xyi}{ixy} = \frac{3y - xy - yi}{xy} - i + 3iy
\]

Сопоставим действительные и мнимые части уравнения:

Действительная часть:

\[
y + y^2 = 3y - xy
\]

Мнимая часть:

\[
xyi = -yi + 3iy
\]

Таким образом, мы получили систему уравнений:

\[
\begin{cases}
y + y^2 = 3y - xy \\
xyi = -yi + 3iy
\end{cases}
\]

Решим данную систему методом подстановки или любым другим способом.