АЛГЕБРА 11 КЛАСС 9. Какое число следует прибавить к числу 7, 5-2 корень из 5i, чтобы оно превратилось в 1) реальное

9. Чтобы число $7+5-2\sqrt{5i}$ стало реальным, нужно прибавить число, обладающее такой же мнимой частью ($\sqrt{5i}$), но с противоположным знаком. Таким образом, мы можем вычислить:

$$7+5-2\sqrt{5i}+2\sqrt{5i}=12$$

Таким образом, нам нужно прибавить число 5, чтобы число $7+5-2\sqrt{5i}$ стало реальным.

Чтобы число $7+5-2\sqrt{5i}$ стало чисто мнимым, нам нужно изначально иметь нулевую действительную часть. В данном случае, действительная часть равна 12. Значит, нам нужно вычесть число 12, чтобы число $7+5-2\sqrt{5i}$ стало чисто мнимым.

10.

2) Найдем реальные числа $x$ и $y$, уравнение $x-2yi=-1-\sqrt{3i}$:

Разделим уравнение на $-2i$:

$$\frac{x-2yi}{-2i}=\frac{-1-\sqrt{3i}}{-2i}$$

$$\frac{x}{-2i}-\frac{2yi}{-2i}=\frac{-1}{-2i}-\frac{\sqrt{3i}}{-2i}$$

Далее, применим свойство сопряженных чисел: $\overline{z}=a-bi$. Сопряженное число для $x$, обозначим его $\overline{x}$, будет $x-2yi$. Таким образом:

$$\overline{x}=\frac{-1}{-2i}-\frac{\sqrt{3i}}{-2i}$$

Упростим:

$$\overline{x}=\frac{1}{2i}-\frac{\sqrt{3i}}{-2i}=\frac{1-\sqrt{3i}}{2i}=\frac{1}{2i}+\frac{\sqrt{3i}}{2i}$$

Теперь, рассмотрим только мнимую часть числа, так как она равна $2y$:

$$2y=\frac{\sqrt{3i}}{2i}$$

Разделим обе части на 2:

$$y=\frac{\sqrt{3i}}{4i}$$

Таким образом, мы получили, что $x=\frac{1}{2i}+\frac{\sqrt{3i}}{2i}$ и $y=\frac{\sqrt{3i}}{4i}$.

4) Разделим уравнение на $(-3+\frac{y-3}{4}i)$:

$$\frac{-3x+(y-\frac{3}{4}i)}{-3+\frac{y-3}{4}i}=\frac{1,5+\frac{1}{4}i}{-3+\frac{y-3}{4}i}$$

Упростим дробь в числителе:

$$\frac{1,5+\frac{1}{4}i}{-3+\frac{y-3}{4}i}=\frac{\frac{6}{4}+\frac{1}{4}i}{-3+\frac{y-3}{4}i}=\frac{\frac{7}{4}i}{-3+\frac{y-3}{4}i}$$

Таким образом, мы получили уравнение $-3x+(y-\frac{3}{4}i)=\frac{\frac{7}{4}i}{-3+\frac{y-3}{4}i}$.

6) Разделим уравнение на $(5-1)i$:

$$\frac{(5x-y)+(x+y)i}{(5-1)i}=\frac{7-i}{(5-1)i}$$

Упростим числитель и знаменатель:

$$\frac{6x+yi}{4i}=\frac{7-i}{4i}$$

Далее, применим свойство сопряженных чисел: $\overline{z}=a-bi$. Сопряженное число для $6x+yi$, обозначим его $\overline{6x+yi}$, будет $6x-yi$. Таким образом:

$$\overline{6x+yi}=\frac{7-i}{4i}$$

Упростим:

$$6x-yi=\frac{7}{4i}-\frac{1}{4}$$

Теперь, рассмотрим только мнимую часть числа, так как она равна $2x$:

$$-2x=\frac{7}{4i}-\frac{1}{4i}$$

Суммируем дроби:

$$-2x=\frac{7-1}{4i}=\frac{6}{4i}=\frac{3}{2i}$$

Переведем в эквивалентную форму:

$$-2x=\frac{3}{2i}\cdot \frac{-2i}{-2i}=-\frac{3i}{2}$$

Таким образом, мы получили, что $x=\frac{3}{4i}$.

14.

2) Разделим уравнение на $(2+5yi)$:

$$\frac{(2x+5yi)+(y+xi)}{2+5yi}=\frac{2+i}{2+5yi}$$

Упростим числитель и знаменатель:

$$\frac{2x+5yi+y+xi}{2+5yi}=\frac{2+i}{2+5yi}$$

Раскроем скобки:

$$\frac{2x+y+(5y+x)i}{2+5yi}=\frac{2+i}{2+5yi}$$

Сопоставим действительные и мнимые части уравнения:

Действительная часть:

$$2x+y=2$$

Мнимая часть:

$$5y+x=1$$

Таким образом, мы получили систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}2x+y=2\\ 5y+x=1\end{array}$$

Решим данную систему методом подстановки или любым другим способом.

4) Разделим уравнение на $1/x$:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{i}{x}=\frac{3}{x}-\frac{i}{y}+3i$$

Упростим дроби:

$$\frac{1+y+ix}{x}=\frac{3-ix}{x}-\frac{i}{y}+3i$$

Разделим на $i$ и упростим:

$$\frac{1+y+ix}{ix}=\frac{3x-i}{x}-\frac{i}{y}+3i$$

Раскроем дроби:

$$\frac{(1+y+ix)y}{ixy}=\frac{(3-ix)y-xi}{xy}-\frac{iy}{y}+3iy$$

Упростим числитель:

$$\frac{y+y^2+xyi}{ixy}=\frac{3y-xy-yi}{xy}-i+3iy$$

Сопоставим действительные и мнимые части уравнения:

Действительная часть:

$$y+y^2=3y-xy$$

Мнимая часть:

$$xyi=-yi+3iy$$

Таким образом, мы получили систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}y+y^2=3y-xy\\ xyi=-yi+3iy\end{array}$$

Решим данную систему методом подстановки или любым другим способом.