А11: Сколько вариантов есть для расстановки в ряд трех разных оловянных солдатиков? И для расстановки в ряд пяти разных

Давайте решим каждую задачу по порядку:

A11: Для расстановки в ряд трех разных оловянных солдатиков, мы должны выбрать 3 солдатика для первого места, 2 солдатика для второго места и оставшийся 1 солдатик для третьего места. Таким образом, мы используем комбинаторную формулу перестановок без повторений:
\[P(n,r) = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}\]
где \(n\) - количество объектов, а \(r\) - количество мест.

Для нашей задачи, количество объектов (солдатиков) \(n_1 = 3\), количество мест \(r_1 = 3\), поэтому мы можем найти количество вариантов для расстановки солдатиков следующим образом:
\[P(3,3) = \frac{{3!}}{{(3-3)!}} = \frac{{3!}}{{0!}} = \frac{{3 \cdot 2 \cdot 1}}{{1}} = 6\]
Таким образом, у нас есть 6 вариантов расстановки трех разных оловянных солдатиков в ряд.

A12: Для каждой иллюстрации на выставке у нас есть только одно место, поэтому нам не нужно применять комбинаторную формулу. Просто нам нужно знать, сколько иллюстраций есть в каждом случае, и сложить их.

В случае (а), где у нас есть 6 рисунков, мы имеем 6 способов повесить иллюстрации на стену.
В случае (б), где у нас есть 8 рисунков, мы имеем 8 способов повесить иллюстрации на стену.

Таким образом, в случае (а) у нас есть 6 возможных способов повесить рисунки, а в случае (б) у нас есть 8 возможных способов.

A13: Для задачи со сложением цветных карандашей обратно в коробку, у нас есть два случая: случай (а) с 12 карандашами и случай (б) с 24 карандашами.

В случае (а), где у нас есть 12 карандашей, нам нужно найти число перестановок этих карандашей. Используем формулу для перестановок без повторений:
\[P(n,r) = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}\]
где \(n\) - количество объектов, а \(r\) - количество мест.

Для нашего случая, количество объектов (карандашей) \(n_2 = 12\), количество мест (коробок) \(r_2 = 12\), поэтому мы можем найти количество вариантов следующим образом:
\[P(12,12) = \frac{{12!}}{{(12-12)!}} = \frac{{12!}}{{0!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{1}} = 479,001,600\]
Таким образом, у нас есть 479,001,600 вариантов, чтобы сложить цветные карандаши обратно в коробку, если в наборе имеется 12 карандашей.

Аналогично, для случая (б), где у нас есть 24 карандаша, мы можем использовать ту же формулу и получить:
\[P(24,24) = \frac{{24!}}{{(24-24)!}} = \frac{{24!}}{{0!}} = 24! = 6.204484e+23\]
Таким образом, у нас есть \(6.204484 \times 10^{23}\) вариантов, чтобы сложить цветные карандаши обратно в коробку, если в наборе имеется 24 карандаша.