А1. Найдите значения РМ и НК, если на рисунке 1 точка А является серединой отрезка РК, АВ параллельно

Решение:

А1. Для начала, обратим внимание на условия задачи. У нас дан треугольник РКМ, в котором точка А является серединой отрезка РК. Также имеем отрезок АВ, параллельный отрезку CD, и отрезок BC, параллельный AD. И, наконец, мы знаем, что BC параллельно PM. Отлично!
Нашей целью является нахождение значений РМ и НК.
Обратимся к рисунку 1.

$$\begin{array}{rl}& RAKM\\ P& BCD\end{array}$$

Поскольку точка А является серединой отрезка РК, тогда длина отрезка AM будет равна длине отрезка МК. То есть, АМ = МК.
Также, поскольку отрезок АВ параллелен отрезку CD, то у них соответствующие углы будут равными.
Обратите внимание на треугольники АВС и МКС. У них соответствующие углы будут равными, так как углы АВС и МКС являются соответствующими углами при параллельных прямых AB и CD.
Получаем следующие уравнения:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }АВС& =\mathrm{\angle }МКС\\ \mathrm{\angle }ВСА& =\mathrm{\angle }КСМ\end{array}$$

Теперь у нас есть достаточно информации, чтобы решить задачу. Давайте продолжим.

Из угловой теоремы следует, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Таким образом, у нас есть:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }КСМ& ={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }КСА-\mathrm{\angle }ВСА\end{array}$$

Также, у нас есть, по условию, что BC параллельно PM. Это означает, что углы КСМ и МСR будут соответствующими углами при параллельных прямых КС и BR.
Отсюда следует:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }КСМ& =\mathrm{\angle }МСR\end{array}$$

Теперь мы можем установить уравнение:

$$\begin{array}{rl}{180}^{\circ }-\mathrm{\angle }КСА-\mathrm{\angle }ВСА& =\mathrm{\angle }МСR\end{array}$$

Из уравнения МСR = КСМ можно заключить, что:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }МСR& =\mathrm{\angle }КСМ\\ {180}^{\circ }-\mathrm{\angle }КСА-\mathrm{\angle }ВСА& =\mathrm{\angle }КСМ\end{array}$$

Подставим это в уравнение:

$$\begin{array}{rl}{180}^{\circ }-\mathrm{\angle }КСА-\mathrm{\angle }ВСА& =\mathrm{\angle }МСR\\ {180}^{\circ }-\mathrm{\angle }КСА-\mathrm{\angle }ВСА& =\mathrm{\angle }КСМ\end{array}$$

Теперь разберемся с треугольником BCМ. В нем имеются две параллельные прямые BC и PM. Значит, углы Б = М. Также у нас есть угол ВСА по условию, и угол МСR уже установлен.
Отсюда мы можем вывести уравнение:

$$\begin{array}{r}{180}^{\circ }-\mathrm{\angle }БМС-\mathrm{\angle }М=\mathrm{\angle }Б\end{array}$$

Также, поскольку А - середина РК, АМ будет равно РК.
Значит, М = 16/2 = 8 дм.

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{array}{rl}{180}^{\circ }-\mathrm{\angle }КСА-\mathrm{\angle }ВСА& =\mathrm{\angle }МСR\\ {180}^{\circ }-\mathrm{\angle }КСА-\mathrm{\angle }ВСА& =\mathrm{\angle }КСМ\\ {180}^{\circ }-\mathrm{\angle }БМС-\mathrm{\angle }М& =\mathrm{\angle }Б\end{array}$$

Чтобы решить эту систему, нам нужно больше информации. Мы не знаем значения углов КСА, ВСА и БМС, которые не указаны в условии задачи. Поэтому не можем точно определить значения РМ и НК.

А2. В данной задаче нам нужно доказать, что АС параллельно е, где Ник - середина стороны АВ и ВС.
Примем следующее обозначение:

$$\begin{array}{r}H:=\text{точка пересечения плоскости}e\text{с прямой}AB\\ K:=\text{точка пересечения плоскости}e\text{с прямой}BC\end{array}$$

Также воспользуемся свойством, что если точка Ник является серединой стороны АВ и ВС, то отрезок AH будет равен отрезку HB, и отрезок CK будет равен отрезку KB.

Воспользуемся противоречием для доказательства, то есть предположим, что АС не параллельно е. Тогда эти две прямые будут пересекаться в некоторой точке, скажем, точке S.

$$\begin{array}{rl}& AB\\ H& SK\end{array}$$

Теперь рассмотрим треугольник АHS. У него есть две параллельные стороны AH и BS. Тогда выполняется теорема Талеса, которая гласит, что если в треугольнике есть две параллельные стороны и проведена от них третья линия (в данном случае - СK), то это отношение останется постоянным. То есть, AH/HS = AB/BS. Но мы знаем, что АH = HB, так как Ник является серединой стороны АВ, поэтому AH/HS = 1.

Теперь рассмотрим треугольник CKS. У него также есть две параллельные стороны CK и BS, и проведена третья линия КА (или СН). По той же теореме Талеса получим CK/KS = AB/BS. Но мы уже знаем, что AH/HS = 1, поэтому CK/KS = 1.

Теперь у нас есть два уравнения:

$$\begin{array}{rl}AH/HS& =1\\ CK/KS& =1\end{array}$$

Мы получили, что отрезок AH равен отрезку HS и отрезок CK равен отрезку KS. Но это возможно только если точка H и точка К совпадают и лежат на отрезке S. Если это так, то это означает, что плоскость е пересекает стороны АВ и ВС треугольника, и, следовательно, АС параллельно е.

Таким образом, доказано, что АС параллельно плоскости е, если Ник является серединой сторон AB и ВС.

В1. В данной задаче нам нужно доказать, что любые две из трех прямых: середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, лежат в одной плоскости, при условии, что четыре точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Для начала, вспомним, что плоскость определена тремя точками. Если четыре точки не лежат в одной плоскости, то они определяют плоскость. Пусть ABCD - точки, определяющие плоскость.

Теперь рассмотрим середины отрезков AB и CD, обозначим их как P и Q соответственно.
Как можно заметить из рисунка, треугольник APQ и треугольник CQD лежат в одной плоскости, так как они находятся в плоскости, определенной точками ABCD.

$$\begin{array}{rl}& APQC\\ B& D\end{array}$$

Теперь рассмотрим прямые AC и BD. Поскольку точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, прямые AC и BD пересекаются в некоторой точке, скажем, точке R.

Таким образом, точки P, Q и R лежат в одной плоскости, так как они находятся в плоскости, определенной точками ABCD.

Получается, что любые две из трех прямых: середины отрезков AB и CD (PQ), AC и BD, AD и BC, лежат в одной плоскости. Доказано.

Вот полученные решения для каждой задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте.