А1. Найдите значения РМ и НК, если на рисунке 1 точка А является серединой отрезка РК, АВ параллельно

Решение:

А1. Для начала, обратим внимание на условия задачи. У нас дан треугольник РКМ, в котором точка А является серединой отрезка РК. Также имеем отрезок АВ, параллельный отрезку CD, и отрезок BC, параллельный AD. И, наконец, мы знаем, что BC параллельно PM. Отлично!
Нашей целью является нахождение значений РМ и НК.
Обратимся к рисунку 1.

\[
\begin{align*}
\quad &\quad R \quad A \quad K \quad M
\\
\quad P \quad &\quad B \quad C \quad D
\end{align*}
\]

Поскольку точка А является серединой отрезка РК, тогда длина отрезка AM будет равна длине отрезка МК. То есть, АМ = МК.
Также, поскольку отрезок АВ параллелен отрезку CD, то у них соответствующие углы будут равными.
Обратите внимание на треугольники АВС и МКС. У них соответствующие углы будут равными, так как углы АВС и МКС являются соответствующими углами при параллельных прямых AB и CD.
Получаем следующие уравнения:

\[
\begin{align*}
\angle АВС &= \angle МКС \\
\angle ВСА &= \angle КСМ \\
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть достаточно информации, чтобы решить задачу. Давайте продолжим.

Из угловой теоремы следует, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Таким образом, у нас есть:

\[
\begin{align*}
\angle КСМ &= 180^\circ - \angle КСА - \angle ВСА \\
\end{align*}
\]

Также, у нас есть, по условию, что BC параллельно PM. Это означает, что углы КСМ и МСR будут соответствующими углами при параллельных прямых КС и BR.
Отсюда следует:

\[
\begin{align*}
\angle КСМ &= \angle МСR \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем установить уравнение:

\[
\begin{align*}
180^\circ - \angle КСА - \angle ВСА &= \angle МСR
\end{align*}
\]

Из уравнения МСR = КСМ можно заключить, что:

\[
\begin{align*}
\angle МСR &= \angle КСМ \\
180^\circ - \angle КСА - \angle ВСА &= \angle КСМ
\end{align*}
\]

Подставим это в уравнение:

\[
\begin{align*}
180^\circ - \angle КСА - \angle ВСА &= \angle МСR \\
180^\circ - \angle КСА - \angle ВСА &= \angle КСМ \\
\end{align*}
\]

Теперь разберемся с треугольником BCМ. В нем имеются две параллельные прямые BC и PM. Значит, углы Б = М. Также у нас есть угол ВСА по условию, и угол МСR уже установлен.
Отсюда мы можем вывести уравнение:

\[
\begin{align*}
180^\circ - \angle БМС - \angle М = \angle Б
\end{align*}
\]

Также, поскольку А - середина РК, АМ будет равно РК.
Значит, М = 16/2 = 8 дм.

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
180^\circ - \angle КСА - \angle ВСА &= \angle МСR \\
180^\circ - \angle КСА - \angle ВСА &= \angle КСМ \\
180^\circ - \angle БМС - \angle М &= \angle Б \\
\end{align*}
\]

Чтобы решить эту систему, нам нужно больше информации. Мы не знаем значения углов КСА, ВСА и БМС, которые не указаны в условии задачи. Поэтому не можем точно определить значения РМ и НК.

А2. В данной задаче нам нужно доказать, что АС параллельно е, где Ник - середина стороны АВ и ВС.
Примем следующее обозначение:

\[
\begin{align*}
H := \text{точка пересечения плоскости} \ e \ \text{с прямой} \ AB \\
K := \text{точка пересечения плоскости} \ e \ \text{с прямой} \ BC \\
\end{align*}
\]

Также воспользуемся свойством, что если точка Ник является серединой стороны АВ и ВС, то отрезок AH будет равен отрезку HB, и отрезок CK будет равен отрезку KB.

Воспользуемся противоречием для доказательства, то есть предположим, что АС не параллельно е. Тогда эти две прямые будут пересекаться в некоторой точке, скажем, точке S.

\[
\begin{align*}
\quad &\quad A \quad B
\\
\quad H \quad &\quad S \quad K
\end{align*}
\]

Теперь рассмотрим треугольник АHS. У него есть две параллельные стороны AH и BS. Тогда выполняется теорема Талеса, которая гласит, что если в треугольнике есть две параллельные стороны и проведена от них третья линия (в данном случае - СK), то это отношение останется постоянным. То есть, AH/HS = AB/BS. Но мы знаем, что АH = HB, так как Ник является серединой стороны АВ, поэтому AH/HS = 1.

Теперь рассмотрим треугольник CKS. У него также есть две параллельные стороны CK и BS, и проведена третья линия КА (или СН). По той же теореме Талеса получим CK/KS = AB/BS. Но мы уже знаем, что AH/HS = 1, поэтому CK/KS = 1.

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
AH/HS &= 1 \\
CK/KS &= 1 \\
\end{align*}
\]

Мы получили, что отрезок AH равен отрезку HS и отрезок CK равен отрезку KS. Но это возможно только если точка H и точка К совпадают и лежат на отрезке S. Если это так, то это означает, что плоскость е пересекает стороны АВ и ВС треугольника, и, следовательно, АС параллельно е.

Таким образом, доказано, что АС параллельно плоскости е, если Ник является серединой сторон AB и ВС.

В1. В данной задаче нам нужно доказать, что любые две из трех прямых: середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, лежат в одной плоскости, при условии, что четыре точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Для начала, вспомним, что плоскость определена тремя точками. Если четыре точки не лежат в одной плоскости, то они определяют плоскость. Пусть ABCD - точки, определяющие плоскость.

Теперь рассмотрим середины отрезков AB и CD, обозначим их как P и Q соответственно.
Как можно заметить из рисунка, треугольник APQ и треугольник CQD лежат в одной плоскости, так как они находятся в плоскости, определенной точками ABCD.

\[
\begin{align*}
\quad &\quad A \quad P \quad Q \quad C
\\
\quad B \quad &\quad \quad \quad D
\end{align*}
\]

Теперь рассмотрим прямые AC и BD. Поскольку точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, прямые AC и BD пересекаются в некоторой точке, скажем, точке R.

Таким образом, точки P, Q и R лежат в одной плоскости, так как они находятся в плоскости, определенной точками ABCD.

Получается, что любые две из трех прямых: середины отрезков AB и CD (PQ), AC и BD, AD и BC, лежат в одной плоскости. Доказано.

Вот полученные решения для каждой задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте.