1) Чтобы доказать, что bq = cp, нам нужно доказать, что длины отрезков bq и cp равны. 2) Для доказательства, что угол

Давайте начнем с первой задачи, чтобы доказать, что \(bq = cp\). Для этого нам нужно убедиться, что длины отрезков \(bq\) и \(cp\) равны.

Шаг 1: Взглянем на данную ситуацию и рисунок.

Шаг 2: Мы знаем, что \(BM\) - медиана, а также \(AP\) - высота в треугольнике \(ABC\).

Шаг 3: По свойствам треугольника, медиана делит сторону пополам, поэтому \(AM = MC\).

Шаг 4: Из шага 3 также следует, что \(MB = MC\).

Шаг 5: Поэтому, если мы докажем, что треугольники \(AMB\) и \(CMB\) равны, то длины отрезков \(bq\) и \(cp\) будут равны, так как стороны равных треугольников равны.

Шаг 6: Докажем, что треугольники \(AMB\) и \(CMB\) равны с помощью построения:

- Проведите отрезок \(MP\)
- Проведите отрезок \(AP\)

Шаг 7: Когда мы провели отрезки \(MP\) и \(AP\), у нас получились два треугольника: \(AMP\) и \(CMP\).

Шаг 8: Мы знаем, что \(BM\) - медиана, поэтому \(BM\) делит \(AP\) пополам в точке \(K\).

Шаг 9: Следовательно, \(AK = KP\), так как медиана делит сторону пополам.

Шаг 10: Также, у нас есть две вертикальные угловые пары: \(\angle AMP\) и \(\angle CMP\), а также \(\angle APK\) и \(\angle KPM\).

Шаг 11: По свойству вертикальных углов, эти углы равны между собой.

Шаг 12: Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что треугольники \(AMP\) и \(CMP\) равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне \(AM\) и \(CM\), и углу \(\angle AMP\)).

Шаг 13: Следовательно, по свойству равенства треугольников, они равны в целом.

Шаг 14: Так как треугольники \(AMP\) и \(CMP\) равны, то длины отрезков \(bq\) и \(cp\) должны быть равны.

Таким образом, мы доказали, что длины отрезков \(bq\) и \(cp\) равны.

Перейдем ко второй задаче, чтобы доказать, что угол \(APC\) равен углу \(MPB\).

Шаг 1: Взглянем на данную ситуацию и рисунок.

Шаг 2: Мы видим, что есть два угла: \(\angle APC\) и \(\angle MPB\).

Шаг 3: Если мы докажем, что эти углы имеют одинаковую величину, то мы сможем доказать их равенство.

Шаг 4: Для этого давайте рассмотрим треугольники \(AMP\) и \(MPC\).

Шаг 5: Мы знаем, что \(BM\) - медиана, поэтому \(AM = MC\).

Шаг 6: Также, у нас есть две вертикальные угловые пары: \(\angle AMP\) и \(\angle CMP\), а также \(\angle APK\) и \(\angle KPM\).

Шаг 7: По свойству вертикальных углов, эти углы равны между собой.

Шаг 8: Кроме того, мы только что доказали в предыдущей задаче, что треугольники \(AMP\) и \(CMP\) равны.

Шаг 9: Исходя из этого, следует, что углы \(\angle APC\) и \(\angle MPB\) имеют одинаковую величину.

Таким образом, мы доказали, что угол \(APC\) равен углу \(MPB\).

Надеюсь, эти объяснения полностью разъяснили вам задачи и помогли понять, как доказать данные утверждения. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь!