а) Создайте таблицу с распределением случайной величины Х на основе результатов 45 студентов, которые получили

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом:

а) Для создания таблицы с распределением случайной величины X на основе результатов 45 студентов, которые получили указанные оценки, мы должны посчитать, сколько раз каждая оценка встречается.

Итак, вот таблица:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Оценка (Х)} & \text{Количество студентов} \\
\hline
37 & 1 \\
38 & 2 \\
39 & 4 \\
40 & 7 \\
41 & 12 \\
42 & 9 \\
43 & 4 \\
44 & 2 \\
\hline
\end{array}
\]

б) Размах выборки определяется как разница между наибольшим и наименьшим значением в выборке. В нашем случае, наименьшая оценка равна 37, а наибольшая - 44. Таким образом, размах выборки равен \( 44 - 37 = 7 \).

в) Мода в выборке - это значение, которое встречается наиболее часто. В нашей выборке самая часто встречающаяся оценка - 41. Таким образом, мода выборки равна 41.

Медиана в выборке - это значение, которое оказывается в середине выборки после того, как значения упорядочены по возрастанию или убыванию. В нашем случае, после упорядочивания оценок по возрастанию, получим следующий список: 37, 38, 38, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 44. Видим, что в списке имеется 25 оценок. Поскольку это нечетное число, медианой будет значение находящееся посередине списка, то есть 13-тая оценка. В нашем случае это 41. Таким образом, медиана выборки равна 41.

г) Математическое ожидание - это среднее значение выборки. Для его вычисления нужно найти сумму всех оценок и разделить эту сумму на общее количество оценок. В нашем случае сумма всех оценок равна \(39+41+40+42+41+40+42+44+40+43+42+41+43+42+39+41+42+39+41+37+43+41+38+43+42+41+39+40+41+38+44+40+41+40+42+40+41+42+40+43+38+39+41+41+42 = 1894\). Общее количество оценок равно 45. Подставляя вычисленные значения в формулу, получаем \(\dfrac{{1894}}{{45}} \approx 42.09\). Итак, математическое ожидание (среднее значение) выборки равно 42.09.

д) Дисперсия - это мера разброса значений выборки относительно их среднего значения. Для его вычисления нужно вычесть каждую оценку в выборке от среднего значения, возвести разницу в квадрат, полученные значения сложить и разделить на общее количество оценок. Если обозначить каждую оценку как \(x_i\), а среднее значение выборки как \(\overline{X}\), то дисперсию можно вычислить по формуле:

\[ \dfrac{{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^2}}{{n}} \]

где \(n\) - общее количество оценок.

Вычисляя дисперсию для нашей выборки, получим:

\[
\begin{align*}
&\dfrac{{(39-42.09)^2 + (41-42.09)^2 + (40-42.09)^2 + (42-42.09)^2 + (41-42.09)^2 + (40-42.09)^2 + (42-42.09)^2 + (44-42.09)^2 + (40-42.09)^2 + (43-42.09)^2 + (42-42.09)^2 + (41-42.09)^2 \\
&+(43-42.09)^2 + (42-42.09)^2 + (39-42.09)^2 + (41-42.09)^2 + (42-42.09)^2 + (39-42.09)^2 + (41-42.09)^2 + (37-42.09)^2 + (43-42.09)^2 + (41-42.09)^2 + (38-42.09)^2 + (43-42.09)^2 + (42-42.09)^2 \\
&+(41-42.09)^2 + (39-42.09)^2 + (40-42.09)^2 + (41-42.09)^2 + (38-42.09)^2 + (44-42.09)^2 + (40-42.09)^2 + (41-42.09)^2 + (40-42.09)^2 + (42-42.09)^2 + (40-42.09)^2 + (41-42.09)^2 + (42-42.09)^2 \\
&+(40-42.09)^2 + (43-42.09)^2 + (38-42.09)^2 + (39-42.09)^2 + (41-42.09)^2 + (41-42.09)^2 + (42-42.09)^2 )}}{{45}} \\
\end{align*}
\]

Вычисляя это значение, мы получаем примерно 2.36. Итак, дисперсия выборки равна 2.36.

е) Среднее квадратическое отклонение (сигма) - это корень квадратный из дисперсии. Величина среднеквадратичного отклонения показывает, насколько велика разница между каждым значением выборки и средним значением выборки. В нашем случае среднее квадратическое отклонение равно \(\sqrt{2.36} \approx 1.53\).

Таким образом, мы рассмотрели расчеты для каждого из пунктов задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!