а) Сколько существует четырехзначных чисел, которые состоят только из четных цифр? б) Сколько четырехзначных чисел

Для решения задачи а) "Сколько существует четырехзначных чисел, которые состоят только из четных цифр?" мы можем применить принцип умножения.

В четырехзначном числе у нас есть 4 позиции, каждая из которых может принимать значения от 0 до 9. Однако, в данном случае мы ограничены только четными цифрами, то есть 0, 2, 4, 6, 8. Обратите внимание, что у числа не могут быть ведущие нули, поэтому на первой позиции допустимыми значениями являются 2, 4, 6 и 8.

Таким образом, на первой позиции у нас может быть 4 возможных четных цифры. На остальных трех позициях также может быть каждая из 5 четных цифр.

Применяя принцип умножения, получаем общее количество четырехзначных чисел, состоящих только из четных цифр:

\[4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500\]

Таким образом, есть 500 четырехзначных чисел, которые состоят только из четных цифр.

Теперь перейдем к задаче б) "Сколько четырехзначных чисел имеют хотя бы одну четную цифру в своей записи?"

Можно применить метод комплементарности и вычесть из общего количества четырехзначных чисел количество чисел, которые состоят только из нечетных цифр.

Мы уже знаем, что количество четырехзначных чисел, состоящих только из четных цифр, равно 500. Таким образом, общее количество четырехзначных чисел равно 9000 (так как от 1000 до 9999 всего 9000 чисел).

Теперь рассмотрим количество чисел, которые состоят только из нечетных цифр. Здесь у нас на каждой позиции могут быть только нечетные цифры, то есть 1, 3, 5, 7 и 9. На первой позиции ноль быть не может.

Таким образом, на каждой из 4 позиций у нас может быть по 5 возможных вариантов.

Применяя принцип умножения, получаем общее количество четырехзначных чисел, состоящих только из нечетных цифр:

\[5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625\]

Теперь можем вычислить количество четырехзначных чисел, имеющих хотя бы одну четную цифру в своей записи:

\[9000 - 625 = 8375\]

Таким образом, есть 8375 четырехзначных чисел, которые имеют хотя бы одну четную цифру в своей записи.