а) Проведены перпендикуляр и наклонная из одной точки к плоскости. Углы, образованные наклонной с ее проекцией

а) Для начала, давайте определимся с обозначениями. Пусть \(P\) - точка пересечения перпендикуляра и наклонной с плоскостью, \(Q\) - точка пересечения наклонной и её проекции на плоскость, \(R\) - точка пересечения наклонной и перпендикуляра. Поскольку углы, образованные наклонной с её проекцией и перпендикуляром равны, можно сказать, что треугольники \(\triangle PQR\) и \(\triangle PQR"\) являются равнобедренными, где \(R"\) - проекция точки \(R\) на плоскость. Так как равнобедренные треугольники имеют равные основания, угол \(PRQ\) равен углу \(PQR"\). Но треугольник \(\triangle PQR"\) - это наклонная с плоскостью, и угол между наклонной и плоскостью равен углу между \(PQR"\). Таким образом, угол между наклонной и плоскостью равен углу \(PRQ\), который является углом между наклонной и её проекцией. Ответ: угол между наклонной и плоскостью равен углу \(PRQ\).

б) Так как ребро \(AS\) является перпендикуляром к плоскости грани \(\triangle VSD\), рассмотрим треугольник \(\triangle AHS\), где \(H\) - точка пересечения \(AS\) и \(BD\). Поскольку отрезок \(AH\) является высотой грани \(\triangle ABD\), угол \(\angle AHB\) является прямым. Также, поскольку ребро \(AS\) перпендикулярно плоскости грани \(\triangle VSD\), угол \(\angle DSH\) также является прямым. Таким образом, угол \(BHC\) есть сумма углов \(\angle AHB\) и \(\angle DSH\), то есть \(BHC = 90° + 90° = 180°\).

в) а) Чтобы проверить истинность данного утверждения, рассмотрим ситуацию, когда \(\triangle ABC\) является равносторонним. Если это так, то углы между наклонной и его проекцией на плоскость также будут равны, поскольку все углы равностороннего треугольника равны \(60°\). Таким образом, утверждение верно.

б) Чтобы проверить истинность данного утверждения, рассмотрим правильный шестиугольник \(ABCDEF\). Поскольку все его стороны и углы равны, его проекции и ортоцентр также образуют равносторонний треугольник. Поэтому, если \(OF\) - перпендикуляр к \(EF\) и \(O\) находится на плоскости, то это значит, что \(OF\) также является перпендикуляром к плоскости \((ABF)\).

4. Дано, что \(SM\) - перпендикуляр к \(KM\). Если \(CM\) также является перпендикуляром к \(KM\), то это значит, что точка \(M\) лежит на прямой \(SK\), а значит не принадлежит треугольнику \(\triangle MKC\). Ответ: \(M\) не принадлежит треугольнику \(\triangle MKC\).