а) Какова длина ребра металлического тела в форме тетраэдра, если общая сумма длин его ребер составляет 54

Давайте рассмотрим каждую часть задачи поочередно.

а) Нам дано, что общая сумма длин ребер металлического тела составляет 54 см. У тетраэдра имеются 6 ребер, поэтому, чтобы найти длину одного ребра, мы можем разделить 54 на 6. Поэтому:

\[
\text{{Длина одного ребра}} = \frac{{54}}{{6}} = 9\, \text{{см}}
\]

Ответ: Длина ребра металлического тела в форме тетраэдра равна 9 см.

б) Чтобы найти общую площадь поверхности тетраэдра, нужно знать его формулу. Для тетраэдра, образованного равносторонним треугольником, формула для площади поверхности имеет вид:

\[
S = \sqrt{3} \times a^2
\]

где \( a \) - длина ребра тетраэдра. Подставляя значение \( a = 9 \) см в формулу, находим:

\[
S = \sqrt{3} \times 9^2 = 27\sqrt{3} \, \text{{см}}^2
\]

Ответ: Общая площадь поверхности металлического тела в форме тетраэдра равна \( 27\sqrt{3} \, \text{{см}}^2 \).

в) Чтобы найти высоту тетраэдра, нет прямой формулы, но мы можем использовать теорему Пифагора. Высота тетраэдра является высотой равностороннего треугольника, которая делит его на два прямоугольных треугольника. Тогда одна из его ног (прямые треугольники) будет медианой, а другая будет высотой треугольника. Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников, поэтому его высота разделит одну из его ног на две равные части.

Медиана равностороннего треугольника делит его высоту на две равные части. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты тетраэдра. Для этого, сначала найдем длину медианы.

Давайте обозначим высоту треугольника как \( h \), а каждую ногу треугольника как \( a \).
Так как одна нога будет разделена на две равные части, длина медианы будет равна \( \frac{{a}}{2} \).

Тогда применяя теорему Пифагора, мы можем записать:

\[
\left(\frac{{a}}{{2}}\right)^2 + h^2 = a^2
\]

\[
\frac{{a^2}}{{4}} + h^2 = a^2
\]

\[
h^2 = a^2 - \frac{{a^2}}{{4}} = \frac{{3a^2}}{{4}}
\]

Теперь мы можем найти высоту, взяв квадратный корень обеих сторон уравнения:

\[
h = \sqrt{\frac{{3a^2}}{4}}
\]

\[
h = \frac{{\sqrt{3}a}}{2}
\]

Подставим значение длины ребра \( a = 9 \) см:

\[
h = \frac{{\sqrt{3} \times 9}}{2} = \frac{{9\sqrt{3}}}{2} = \frac{{9}{2}\sqrt{3}} \, \text{{см}}
\]

Ответ: Высота тетраэдра равна \( \frac{{9}{2}\sqrt{3}} \) см.

г) Для нахождения количества правильных тетраэдров, которые можно получить из переплавленного металлического тела, нам нужно знать объем металлического тела и объем одного тетраэдра. Затем, разделив объем металлического тела на объем одного тетраэдра, мы можем найти количество тетраэдров.

Объем металлического тела можно найти, используя формулу для объема тетраэдра:

\[
V_{\text{{тела}}} = \frac{{a^3 \sqrt{2}}}{12}
\]

где \( a \) - длина ребра металлического тела. Подставляя \( a = 9 \) см в формулу, находим:

\[
V_{\text{{тела}}} = \frac{{9^3 \sqrt{2}}}{12} = \frac{{729\sqrt{2}}}{12} = \frac{{243\sqrt{2}}}{4} = 60.75\sqrt{2} \, \text{{см}}^3
\]

Объем одного правильного тетраэдра со стороной 3 см можно найти, используя формулу:

\[
V_{\text{{тетраэдра}}} = \frac{{a^3 \sqrt{2}}}{12}
\]

Подставляем \( a = 3 \) см:

\[
V_{\text{{тетраэдра}}} = \frac{{3^3 \sqrt{2}}}{12} = \frac{{27\sqrt{2}}}{12} = \frac{{9}{4}\sqrt{2}} \, \text{{см}}^3
\]

Теперь, чтобы найти количество тетраэдров, делим объем металлического тела на объем одного тетраэдра:

\[
\text{{Количество тетраэдров}} = \frac{{V_{\text{{тела}}}}}{{V_{\text{{тетраэдра}}}}} = \frac{{60.75\sqrt{2}}}{{\frac{{9}{4}\sqrt{2}}}} = \frac{{60.75 \cdot 4\sqrt{2}}}{{9\sqrt{2}}} = \frac{{243}}{{9}} = 27
\]

Ответ: Из переплавленного металлического тела получилось 27 тетраэдров.

Надеюсь, данный ответ был подробным и понятным для вас.