а) Приведите пример числа, записанного Ваней на доске, при котором сумма его цифр в обратном порядке будет равна 4004

Хорошо, давайте посмотрим на каждую часть задачи по очереди.

а) Мы ищем число, сумма цифр которого в обратном порядке равна 4004. Давайте предположим, что данное число состоит из трех цифр: \(abc\). Тогда его сумма в обратном порядке можно записать как \(cba = (100c + 10b + a)\). Мы можем записать уравнение:

\[
100c + 10b + a = 4004
\]

Теперь найдем подходящие значения для \(a\), \(b\) и \(c\). Начнем с \(a = 4\):

\[
100c + 10b + 4 = 4004
\]

Вычитаем 4 из обеих частей и делим на 100:

\[
100c + 10b = 4000
\]

Дальше пробуем \(c = 4\):

\[
40 + 10b = 4000
\]

Вычитаем 40 из обеих частей и делим на 10:

\[
10b = 3960
\]

Ок, осталось только проверить, будет ли целочисленным решение для \(b\). Делим 3960 на 10:

\[
b = 396
\]

Таким образом, число, записанное Ваней на доске, для которого сумма его цифр в обратном порядке равна 4004, будет 496.

б) Чтобы найти наибольшую сумму, которую могут получить Ваня и Таня, нам нужно определить наибольшие возможные значения для чисел, записанных каждым из них. Поскольку задача не указывает, что числа должны быть различными, мы можем предположить, что Ваня и Таня могут использовать одно и то же число.

Допустим, это число состоит из трех цифр: \(abc\). Тогда сумма его цифр может быть записана как \(abc + 100a + 10b + c\). Нам нужно максимизировать эту сумму, поэтому будем искать наибольшие возможные значения для каждой цифры.

- Для первой цифры (\(a\)) максимальное значение будет 9, так как мы исходим из десятичной системы счисления.
- Аналогично, для второй и третьей цифр (\(b\) и \(c\)) максимальное значение также будет 9.

Таким образом, наибольшая сумма, которую могут получить Ваня и Таня, составляет:

\[
999 + 100 \cdot 9 + 10 \cdot 9 + 9 = 1998 + 90 + 9 = 2097
\]

в) Нам снова нужно найти число, записанное Ваней на доске, для которого сумма его цифр в обратном порядке равна 4004. Мы уже нашли такое число в предыдущем ответе: 496.

г) Теперь предположим, что Ваня записал число \(x\) на доске. Мы знаем, что сумма чисел равна 18777:

\[
x + (100x + 10x + x) = 18777
\]

Упростим уравнение:

\[
111x = 18777
\]

Теперь разделим обе части на 111, чтобы найти значение \(x\):

\[
x = \frac{18777}{111} \approx 169
\]

Таким образом, Ваня мог записать на доске число 169.

Я надеюсь, что мои подробные ответы помогли вам понять решение задач.