A) Постройте график функции y = cos(x + π/6) - 1. Б) Опишите интервалы, на которых функция возрастает и убывает

Хорошо, давайте решим вашу задачу построения графика функции $y=\cos (x+\frac{\pi }{6})-1$ и найдем интервалы возрастания, убывания и корни функции.

A) Для того чтобы нарисовать график функции, нам нужно знать, как меняется значение функции $y$ в зависимости от значения переменной $x$.

1. Начнем с определения диапазона значений переменной $x$. Вы можете выбрать значения по своему усмотрению, но для удобства мы возьмем диапазон от $-2\pi$ до $2\pi$, так как это часто используемый интервал для построения графиков тригонометрических функций.

2. Следующий шаг - найти значения функции $y$ для каждого значения $x$ в заданном диапазоне. Для этого мы используем формулу $y=\cos (x+\frac{\pi }{6})-1$. Подставим значения $x$ от $-2\pi$ до $2\pi$ в эту формулу и найдем соответствующие значения $y$.

Вот таблица с несколькими значениями $x$ и соответствующими значениями $y$:

$$\begin{array}{|cc|}\hline x& y\\ -2\pi & -2\\ -\frac{7\pi }{6}& 0\\ -\frac{5\pi }{6}& -2\\ -\frac{3\pi }{6}& 0\\ -\frac{\pi }{6}& -2\\ \frac{\pi }{6}& -2\\ \frac{3\pi }{6}& 0\\ \frac{5\pi }{6}& -2\\ \frac{7\pi }{6}& 0\\ 2\pi & -2\\ \hline\end{array}$$

3. Теперь, когда у нас есть набор значений $x$ и соответствующих им значений $y$, мы можем построить график функции. На горизонтальной оси отложим значения переменной $x$, а на вертикальной оси - значения функции $y$. Для каждого значения $x$ нарисуем точку с координатами $(x,y)$, и затем соединим все эти точки линией. Полученная линия будет представлять график функции $y=\cos (x+\frac{\pi }{6})-1$.

B) Теперь найдем интервалы возрастания, убывания и корни функции.

- Интервалы возрастания - это диапазоны значений переменной $x$, на которых функция $y=\cos (x+\frac{\pi }{6})-1$ увеличивается. Для поиска этих интервалов нужно найти значения переменной $x$, при которых производная функции положительна. Производная функции $y=\cos (x+\frac{\pi }{6})-1$ равна $-\sin (x+\frac{\pi }{6})$. Здесь мы используем знание производных тригонометрических функций.

Производная отрицательна в интервалах:

$$(-2\pi ,-\frac{11\pi }{6});(-\frac{7\pi }{6},-\frac{5\pi }{6});(-\frac{3\pi }{6},\frac{\pi }{6});(\frac{7\pi }{6},2\pi )$$

- Интервалы убывания - это диапазоны значений переменной $x$, на которых функция $y$ уменьшается. Для нахождения этих интервалов необходимо найти значения переменной $x$, при которых производная функции отрицательна. Производная функции $y$ равна $-\sin (x+\frac{\pi }{6})$.

Производная положительна в интервалах:

$$(-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6});(-\frac{5\pi }{6},-\frac{3\pi }{6});(\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6})$$

- Корни функции - это значения переменной $x$, при которых функция $y$ равна нулю. Найдем значения $x$, при которых $\cos (x+\frac{\pi }{6})-1=0$. Для этого мы решим уравнение:

$$\cos (x+\frac{\pi }{6})-1=0$$

При решении получаем:

$$x=-\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}$$

Таким образом, интервалы возрастания функции $y=\cos (x+\frac{\pi }{6})-1$ - это $(-2\pi ,-\frac{11\pi }{6});(-\frac{7\pi }{6},-\frac{5\pi }{6});(-\frac{3\pi }{6},\frac{\pi }{6});(\frac{7\pi }{6},2\pi )$.

Интервалы убывания - это $(-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6});(-\frac{5\pi }{6},-\frac{3\pi }{6});(\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6})$.

Корни функции - это $-\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}$.

Надеюсь, это решение поможет вам лучше понять данную функцию и ее график.