A) Постройте график функции y = cos(x + π/6) - 1. Б) Опишите интервалы, на которых функция возрастает и убывает

Хорошо, давайте решим вашу задачу построения графика функции \(y = \cos(x + \frac{\pi}{6}) - 1\) и найдем интервалы возрастания, убывания и корни функции.

A) Для того чтобы нарисовать график функции, нам нужно знать, как меняется значение функции \(y\) в зависимости от значения переменной \(x\).

1. Начнем с определения диапазона значений переменной \(x\). Вы можете выбрать значения по своему усмотрению, но для удобства мы возьмем диапазон от \(-2\pi\) до \(2\pi\), так как это часто используемый интервал для построения графиков тригонометрических функций.

2. Следующий шаг - найти значения функции \(y\) для каждого значения \(x\) в заданном диапазоне. Для этого мы используем формулу \(y = \cos(x + \frac{\pi}{6}) - 1\). Подставим значения \(x\) от \(-2\pi\) до \(2\pi\) в эту формулу и найдем соответствующие значения \(y\).

Вот таблица с несколькими значениями \(x\) и соответствующими значениями \(y\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2\pi & -2 \\
-\frac{7\pi}{6} & 0 \\
-\frac{5\pi}{6} & -2 \\
-\frac{3\pi}{6} & 0 \\
-\frac{\pi}{6} & -2 \\
\frac{\pi}{6} & -2 \\
\frac{3\pi}{6} & 0 \\
\frac{5\pi}{6} & -2 \\
\frac{7\pi}{6} & 0 \\
2\pi & -2 \\
\hline
\end{array}
\]

3. Теперь, когда у нас есть набор значений \(x\) и соответствующих им значений \(y\), мы можем построить график функции. На горизонтальной оси отложим значения переменной \(x\), а на вертикальной оси - значения функции \(y\). Для каждого значения \(x\) нарисуем точку с координатами \((x, y)\), и затем соединим все эти точки линией. Полученная линия будет представлять график функции \(y = \cos(x + \frac{\pi}{6}) - 1\).

B) Теперь найдем интервалы возрастания, убывания и корни функции.

- Интервалы возрастания - это диапазоны значений переменной \(x\), на которых функция \(y = \cos(x + \frac{\pi}{6}) - 1\) увеличивается. Для поиска этих интервалов нужно найти значения переменной \(x\), при которых производная функции положительна. Производная функции \(y = \cos(x + \frac{\pi}{6}) - 1\) равна \(-\sin(x + \frac{\pi}{6})\). Здесь мы используем знание производных тригонометрических функций.

Производная отрицательна в интервалах:

\[
(-2\pi, -\frac{11\pi}{6}); (-\frac{7\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}); (-\frac{3\pi}{6}, \frac{\pi}{6}); (\frac{7\pi}{6}, 2\pi)
\]

- Интервалы убывания - это диапазоны значений переменной \(x\), на которых функция \(y\) уменьшается. Для нахождения этих интервалов необходимо найти значения переменной \(x\), при которых производная функции отрицательна. Производная функции \(y\) равна \(-\sin(x + \frac{\pi}{6})\).

Производная положительна в интервалах:

\[
(-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}); (-\frac{5\pi}{6}, -\frac{3\pi}{6}); (\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})
\]

- Корни функции - это значения переменной \(x\), при которых функция \(y\) равна нулю. Найдем значения \(x\), при которых \(\cos(x + \frac{\pi}{6}) - 1 = 0\). Для этого мы решим уравнение:

\[
\cos(x + \frac{\pi}{6}) - 1 = 0
\]

При решении получаем:

\[
x = -\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}
\]

Таким образом, интервалы возрастания функции \(y = \cos(x + \frac{\pi}{6}) - 1\) - это \((-2\pi, -\frac{11\pi}{6}); (-\frac{7\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}); (-\frac{3\pi}{6}, \frac{\pi}{6}); (\frac{7\pi}{6}, 2\pi)\).

Интервалы убывания - это \((-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}); (-\frac{5\pi}{6}, -\frac{3\pi}{6}); (\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})\).

Корни функции - это \(-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}\).

Надеюсь, это решение поможет вам лучше понять данную функцию и ее график.