а) Подтвердите факт, что угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью основания цилиндра составляет 45 градусов

а) Чтобы подтвердить факт, что угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью основания цилиндра составляет 45 градусов, мы можем использовать геометрические свойства фигур.

Пусть прямоугольник ABCD лежит в плоскости XY, а основание цилиндра лежит в плоскости XZ. Пусть точка D находится на отрезке AC, и пусть E - точка пересечения прямой BD и плоскости XZ.

Нам дано, что прямоугольник ABCD является прямоугольником. Поэтому угол между стороной AD и плоскостью XY равен 90 градусов.

Мы можем заметить, что отрезок BD лежит в плоскости XZ, и поэтому угол между отрезком BD и плоскостью XY также будет равен 90 градусов.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BDE. Мы знаем, что угол BDE равен 90 градусов, так как отрезок BD лежит в плоскости XZ, а угол EDB равен 45 градусов, так как это угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью основания цилиндра.

Из этих условий мы можем заключить, что угол BDE равен 90 - 45 = 45 градусов.

Таким образом, мы подтвердили факт, что угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью основания цилиндра составляет 45 градусов.

б) Чтобы определить длину отрезка BD прямоугольника ABCD, не принадлежащего цилиндру, если образующая цилиндра равна его радиусу, мы можем использовать геометрические свойства.

Поскольку цилиндр равен его радиусу, мы можем предположить, что он имеет форму цилиндрической трубы, которая вписана в прямоугольник ABCD. То есть основание цилиндра совпадает с основанием прямоугольника.

Пусть r - радиус цилиндра, тогда длина отрезка BD будет равна диагонали прямоугольника ABCD.

Мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольнику ABCD, чтобы определить длину диагонали.

По теореме Пифагора:
\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

Так как прямоугольник ABCD является прямоугольником, у нас есть:

\[AB = AD = r\]
\[BC = DC = 2r\]

Подставляя значения в теорему Пифагора, получаем:

\[r^2 + (2r)^2 = AC^2\]
\[r^2 + 4r^2 = AC^2\]
\[5r^2 = AC^2\]
\[AC = \sqrt{5}r\]

Таким образом, длина отрезка BD прямоугольника ABCD, не принадлежащего цилиндру, равна \(\sqrt{5}r\).