а) Подтвердите, что HM перпендикулярно HN. б) Если AC пересекает HN в точке P, а BC пересекает HM в точке Q, то найдите

а) Чтобы подтвердить, что HM перпендикулярно HN, мы должны убедиться, что вектор HM перпендикулярен вектору HN.

Для начала, давайте найдем вектор HM и вектор HN. Вектор HM можно найти путем вычитания координат точки M из координат точки H:

\(\vec{HM} = \vec{M} - \vec{H}\)

Точки H и M имеют следующие координаты:

H: (0, 0)
M: (36, 72)

Теперь вычислим вектор HM:

\(\vec{HM} = \vec{M} - \vec{H} = (36, 72) - (0, 0) = (36, 72)\)

Аналогично, найдем вектор HN, вычитая координаты точки N из координат точки H:

\(\vec{HN} = \vec{N} - \vec{H}\)

Точки H и N имеют следующие координаты:

H: (0, 0)
N: (72, 0)

Теперь вычислим вектор HN:

\(\vec{HN} = \vec{N} - \vec{H} = (72, 0) - (0, 0) = (72, 0)\)

Теперь, чтобы убедиться, что вектор HM перпендикулярен вектору HN, мы можем вычислить скалярное произведение этих векторов и проверить, равно ли оно нулю.

Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вычисляется следующим образом:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\)

Где \(a_x\) и \(b_x\) - координаты по оси x векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(a_y\) и \(b_y\) - координаты по оси y соответственно.

Вычислим скалярное произведение векторов HM и HN:

\(\vec{HM} \cdot \vec{HN} = (36, 72) \cdot (72, 0) = 36 \cdot 72 + 72 \cdot 0 = 2592 + 0 = 2592\)

Таким образом, скалярное произведение векторов HM и HN равно 2592, что не равно нулю.

Ответ: Вектор HM не перпендикулярен вектору HN.

б) Чтобы найти площадь треугольника PQM, мы должны использовать формулу для площади треугольника, основанную на высоте и основании треугольника.

Для начала, найдем высоту треугольника PQM, которая является отрезком HM.

Так как мы уже знаем, что HM не перпендикулярен HN, мы не можем использовать HM как высоту треугольника. Однако, мы можем найти высоту треугольника PQM, используя свойство подобия треугольников.

Поскольку треугольники AHM и BHN подобны (по двум углам), мы можем записать следующее отношение:

\(\frac{HM}{HN} = \frac{AH}{BH}\)

Подставим значения AH (72) и BH (36) в эту формулу:

\(\frac{HM}{HN} = \frac{72}{36}\)

\(\frac{HM}{HN} = 2\)

Теперь мы можем найти HM, зная HN:

\(HM = 2 \cdot HN = 2 \cdot 72 = 144\)

Таким образом, длина HM равна 144.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника PQM, мы можем использовать формулу:

\(S = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot HM\)

Нам нужно найти длину PQ. К счастью, у нас есть отношение между PQ и AH:

\(\frac{PQ}{AH} = \frac{QM}{AM}\)

Подставим значения AH (72) и AM (36) в эту формулу:

\(\frac{PQ}{72} = \frac{QM}{36}\)

Упростим это:

\(\frac{PQ}{72} = \frac{QM}{36}\)

\(\frac{PQ}{2} = QM\)

Теперь мы можем записать PQ через QM:

\(PQ = 2 \cdot QM\)

Так как QM равно HM (144), то PQ будет равно 2 умножить на 144:

\(PQ = 2 \cdot 144 = 288\)

Теперь, подставим значения PQ (288) и HM (144) в формулу для площади треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \cdot 288 \cdot 144\)

\(S = 144 \cdot 144\)

\(S = 20736\)

Таким образом, площадь треугольника PQM равна 20736.

Ответ: б) 20736.