a) Определите, является ли функция f(x) = sin^2/x^2-1 четной или нечетной. б) Определите, является ли функция f(x

Хорошо, начнем с первой задачи об определении четности или нечетности функции \( f(x) = \frac{{\sin^2 x}}{{x^2-1}} \).

Для определения четности или нечетности функции необходимо проанализировать, как функция меняется при замене \( x \) на \( -x \).

а) Для функции \( f(x) = \frac{{\sin^2 x}}{{x^2-1}} \):

Подставим \(-x\) вместо \(x\):

\[ f(-x) = \frac{{\sin^2 (-x)}}{{(-x)^2-1}} \]

Используем свойство четности для синуса: \( \sin(-x) = -\sin(x) \):

\[ f(-x) = \frac{{(-\sin x)^2}}{{x^2-1}} \]

Мы видим, что \( f(-x) \) равно \( f(x) \). Это означает, что функция является четной.

b) Перейдем ко второй задаче и функции \( f(x) = \frac{{\cos x^3}}{{x(25-x^2)}} \):

Подставим \(-x\) вместо \(x\):

\[ f(-x) = \frac{{\cos (-x)^3}}{{(-x)(25-(-x)^2)}} \]

Используем свойства четности и нечетности для косинуса: \( \cos(-x) = \cos(x) \). Также заметим, что \( (-x)^3 = -x^3 \) и \( (-x)^2 = x^2 \):

\[ f(-x) = \frac{{\cos x^3}}{{(-x)(25-x^2)}} \]

Мы видим, что \( f(-x) \) равно \(-f(x)\), а значит функция является нечетной.

c) Перейдем к третьей задаче и функции \( f(x) = x^5\cos(3x) \):

Подставим \(-x\) вместо \(x\):

\[ f(-x) = (-x)^5\cos(3(-x)) \]

Используем свойства четности и нечетности для косинуса: \( \cos(-x) = \cos(x) \). Также заметим, что \((-x)^5 = -x^5\) и \(-3x = -3x\):

\[ f(-x) = -x^5\cos(3x) \]

Мы видим, что \( f(-x) \) равно \(-f(x)\), а значит функция является нечетной.

г) Для последней задачи и функции \( f(x) = (4+\cos x)(\sin^6 x-1) \):

Подставим \(-x\) вместо \(x\):

\[ f(-x) = (4+\cos(-x))(\sin^6(-x)-1) \]

Используем свойства четности и нечетности для синуса и косинуса: \( \cos(-x) = \cos(x) \) и \( \sin(-x) = -\sin(x) \). Также заметим, что \( (-x)^6 = x^6 \):

\[ f(-x) = (4+\cos x)(-\sin^6 x-1) \]

Мы видим, что \( f(-x) \) равно \( f(x) \). Это означает, что функция является четной.