а) Определите координаты центра и радиуса данной сферы, заданной уравнением x² + y² + z² - 4x + 6y = 36. б) Каково

1) Для определения координат центра и радиуса сферы, заданной уравнением \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y = 36\), требуется привести уравнение сферы к каноническому виду. Вначале перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:
\[x^2 - 4x + y^2 + 6y + z^2 = 36.\]
Затем завершим квадраты для переменных \(x\) и \(y\), добавив и вычитая нужные значения:
\[x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 + z^2 = 36 + 4 + 9.\]
Преобразуем полученное уравнение, группируя соответствующие слагаемые:
\[(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + z^2 = 49.\]
Приведем каждую скобку к квадратному виду:
\[(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 49.\]
Теперь получили каноническое уравнение сферы. Из данного уравнения видно, что центр сферы находится в точке \((2, -3, 0)\), так как в уравнении присутствуют выражения \((x - 2)\), \((y + 3)\) и \((z - 0).\)
Радиус сферы можно определить путем извлечения квадратного корня значение константы, стоящей в правой части уравнения. В данном случае радиус равен \(\sqrt{49} = 7.\)
Таким образом, координаты центра сферы: \((2, -3, 0)\), а радиус равен 7.

2) Чтобы определить взаимное положение данной сферы и плоскости \(x = -6\), необходимо проверить, есть ли точки пересечения между сферой и этой плоскостью. Плоскость \(x = -6\) - это горизонтальная плоскость, расположенная параллельно плоскости \(yz\) в системе координат \(xyz\).
Так как в уравнении сферы нет ограничений на значение переменной \(x\), то каждая точка сферы имеет компонент \(x\), отличный от -6. Это означает, что сфера не пересекает плоскость \(x = -6\), то есть их взаимное положение - это параллельность.