а) Найти уравнение прямой, проходящей через точки m(-1; 4) и k(2; -1) в виде ax + by = c, где а, b, c - целые числа

Давайте посмотрим на каждую задачу по очереди:

а) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки \(m(-1; 4)\) и \(k(2; -1)\), нам понадобятся две вещи: координаты этих точек и знание о том, что уравнение прямой имеет вид \(ax + by = c\).

Для начала, найдем угловой коэффициент (наклон) прямой. Он определяется как отношение изменения \(y\) к изменению \(x\) между двумя точками. В данном случае:

\[\text{Угловой коэффициент} = \dfrac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \dfrac{{(-1) - 4}}{{2 - (-1)}} = \dfrac{{-5}}{{3}}\]

Затем, мы можем выбрать любую из двух точек, например, точку \(m(-1; 4)\), и подставить ее координаты в уравнение прямой, чтобы найти значение свободного члена \(c\):

\[4 = a(-1) + b(4)\]

Теперь, имея угловой коэффициент и значение свободного члена, мы можем записать окончательное уравнение прямой:

\[-5x + 3y = c\]

Обратите внимание, что коэффициенты \(a\) и \(b\) доля произвольные целые числа, так как они представляют произвольную прямую, проходящую через заданные точки.

б) Процедура решения аналогична предыдущей задаче. Мы снова найдем угловой коэффициент и значение свободного члена, взяв точку \(m(7; -5)\) и используя уравнение \(-3x + 4y = c\). Получим:

\[\text{Угловой коэффициент} = \dfrac{{(-5) - 4}}{{7 - (-3)}} = \dfrac{{-9}}{{10}}\]
\[c = -3(7) + 4(-5) = -39\]
\[-9x + 10y = -39\]

в) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку \(m(2; 3)\) и параллельной линии с уравнением \(x - 3y = 2\), мы должны использовать тот факт, что параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.

Из уравнения \(x - 3y = 2\) мы видим, что угловой коэффициент этой линии равен \(1/3\). Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой также будет \(1/3\).

Затем, используя точку \(m(2; 3)\), мы получим значение свободного члена \(c\):

\[2 = \dfrac{1}{3}(2) + b(3)\]
\[2 = \dfrac{2}{3} + 3b\]
\[b = \dfrac{4}{9}\]

Теперь мы можем записать уравнение искомой прямой:

\[x - 3y = 2\]

Обратите внимание, что коэффициенты \(a\) и \(b\) снова доля произвольные целые числа, так как они представляют произвольную прямую, проходящую через заданную точку и параллельную данной линии.

Таким образом, у нас есть ответы:

а) \(-5x + 3y = c\)
б) \(-9x + 10y = -39\)
в) \(x - 3y = 2\)