а) Найдите первообразную для функции f(x)=3x²-8x³+5, такую что она проходит через точку М(-2,10). б) Найдите

Мы начнем с решения задачи а).

а) Чтобы найти первообразную функции \(f(x) = 3x^2 - 8x^3 + 5\), нам нужно найти функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\). Мы будем использовать метод интегрирования по частям.

Первоначально, давайте найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности и затем их сложим.

Для слагаемого \(3x^2\), мы знаем, что первообразная функция будет иметь вид \(\frac{{3x^3}}{3} = x^3\).

Для слагаемого \(-8x^3\), мы знаем, что первообразная функция будет иметь вид \(\frac{{-8x^4}}{4} = -2x^4\).

Для слагаемого \(5\), мы знаем, что первообразная будет просто равна \(5x\).

Теперь мы можем записать первообразную функцию \(F(x)\) как сумму первообразных для каждого слагаемого:

\[F(x) = x^3 - 2x^4 + 5x + C\]

где \(C\) - произвольная постоянная (это постоянная интегрирования).

Теперь нам нужно найти значение \(C\) с использованием данных о точке М(-2,10). Чтобы это сделать, подставим значения координаты \(x\) и \(y\) точки М в нашу первообразную функцию:

\[10 = (-2)^3 - 2(-2)^4 + 5(-2) + C\]

Выполняя вычисления, получим:

\[10 = -8 - 16 - 10 + C\]

\[10 = -34 + C\]

\[C = 44\]

Таким образом, первообразная функции \(f(x) = 3x^2 - 8x^3 + 5\) с условием прохождения через точку М(-2,10) будет иметь вид:

\[F(x) = x^3 - 2x^4 + 5x + 44\]

Теперь перейдем к задаче б).

б) Для функции \(f(x) = -8\cos(x)\) мы хотим найти первообразную функцию \(F(x)\), проходящую через заданную точку.

Чтобы найти первообразную, мы будем использовать метод интегрирования. Интеграл \(\int \cos(x) dx\) равен \(\sin(x)\), поэтому:

\[\int -8\cos(x) dx = -8\int \cos(x) dx = -8\sin(x) + C\]

где \(C\) - произвольная постоянная.

Теперь нам нужно найти значение постоянной \(C\) с использованием данных о точке. Поскольку условия для точки не указаны, мы не можем выполнить эту задачу полностью. Таким образом, первообразная функции \(f(x) = -8\cos(x)\), проходящая через заданную точку, имеет вид:

\[F(x) = -8\sin(x) + C\]

Где \(C\) - произвольная постоянная.