a) Найдите алгебраическую форму числа w, если заданы комплексные числа z1=1-i и z2=1-i, и дано выражение w=2z1/z2

Хорошо, давайте решим задачу по порядку.

a) Нам дано выражение для числа w: \(w = \frac{{2z_1}}{{z_2}} + z_1\), где \(z_1 = 1 - i\) и \(z_2 = 1 - i\).

Давайте найдем комплексно сопряженное число \(z_1^*\). Чтобы найти комплексно сопряженное число, мы должны изменить знак мнимой части числа. Таким образом, если \(z_1 = a + bi\), то \(z_1^* = a - bi\). В нашем случае \(z_1 = 1 - i\), поэтому \(z_1^* = 1 + i\).

Теперь мы можем найти \(w\), подставив значения \(z_1\), \(z_2\) и \(z_1^*\) в выражение. Делая это, мы получим:
\[w = \frac{{2(1 - i)}}{{1 - i}} + (1 - i) = 2 + 2i + 1 - i = 3 + i\].

Таким образом, алгебраическая форма числа \(w\) равна \(3 + i\).

b) Чтобы найти модуль числа, нам даны комплексные числа \(z_1 = 1 - i\) и \(z_2 = 1 - i\).

Модуль комплексного числа определяется как расстояние от начала координат до точки, представленной комплексным числом, на комплексной плоскости.

Модуль комплексного числа \(z\), обозначаемый \(|z|\), можно найти с помощью формулы: \(|z| = \sqrt{{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}}\), где \(\text{Re}(z)\) - вещественная часть числа \(z\), а \(\text{Im}(z)\) - мнимая часть числа \(z\).

Применяя эту формулу к числам \(z_1\) и \(z_2\), мы получаем:
\[|z_1| = \sqrt{{1^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}\]
\[|z_2| = \sqrt{{1^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}\]

Таким образом, модуль числа, для которого заданы комплексные числа \(z_1 = 1 - i\) и \(z_2 = 1 - i\), равен \(\sqrt{2}\).