а) Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки A1(x1,y1), A2(x2,y2) и A3(x3,y3). б) Составьте уравнение

а) Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через точки \(A_1(x_1, y_1)\), \(A_2(x_2, y_2)\) и \(A_3(x_3, y_3)\), воспользуемся уравнением плоскости, известным как уравнение общего вида плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\).

Для начала, нам нужно найти нормальный вектор к плоскости. Для этого возьмем два вектора из точек \(A_1\) и \(A_2\) и найдем их векторное произведение:

\[
\vec{v_1} = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{pmatrix}
\]
\[
\vec{v_2} = \begin{pmatrix} x_1 - x_3 \\ y_1 - y_3 \end{pmatrix}
\]
\[
\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}
\]

Здесь \(\vec{n}\) представляет собой нормальный вектор к плоскости. У нас есть два варианта: плоскость может быть ориентирована в каком-то определенном направлении или в противоположном. Чтобы определить знак, воспользуемся точкой \(A_1\) и подставим ее координаты в уравнение плоскости:

\[
Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0
\]

Если левая часть уравнения больше нуля, знак будет отрицательным, а если она меньше нуля, знак будет положительным. Мы можем выбрать любое положительное значение вектора \(\vec{n}\) и поместить его в уравнение плоскости:

\[
A = n_x, B = n_y, C = -1, D = -(Ax_1 + By_1 + Cz_1)
\]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки \(A_1(x_1, y_1)\), \(A_2(x_2, y_2)\) и \(A_3(x_3, y_3)\), будет иметь вид:

\[
n_x(x - x_1) + n_y(y - y_1) - (Ax_1 + By_1 + Cz_1) = 0
\]

б) Для составления уравнения прямой, проходящей через точки \(A_1(x_1, y_1)\) и \(A_2(x_2, y_2)\), мы можем использовать уравнение прямой \(y = mx + c\), где \(m\) - это угловой коэффициент прямой, а \(c\) - это свободный член.

Угловой коэффициент \(m\) можно найти, используя разность координат \(y\) и \(x\) между точками \(A_1\) и \(A_2\):

\[
m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}
\]

Подставив значение \(m\) в уравнение прямой и выбрав одну из точек, чтобы определить \(c\), получим окончательное уравнение прямой:

\[
y = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1) + y_1
\]

в) Чтобы найти уравнение прямой \(A_4M\), перпендикулярной к плоскости \(A_1A_2A_3\), нам понадобится нормальный вектор \(n\) этой плоскости. Мы его уже нашли в пункте (а). Нормальный вектор плоскости также будет являться направляющим вектором прямой перпендикулярной к плоскости.

Подставив координаты точки \(A_4\) и направляющий вектор \(\vec{n}\) в уравнение прямой \(y = mx + c\), мы сможем получить искомое уравнение:

\[
y = \frac{{n_y}}{{n_x}}(x - x_4) + y_4
\]

г) Чтобы найти уравнение прямой \(A_3N\), параллельной прямой \(A_1A_2\), достаточно использовать такой же угловой коэффициент \(m\), как и в пункте (б), но выбрать другую точку, например \(A_3\), чтобы определить свободный член \(c\). Итак, уравнение прямой будет иметь вид:

\[
y = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_3) + y_3
\]

д) Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку \(A_4\) и перпендикулярной к прямой \(A_1A_2\), нам снова понадобится нормальный вектор плоскости \(n\), который мы уже нашли в пункте (а). Затем мы можем использовать такое же уравнение плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\) и подставить координаты точки \(A_4\) и значения нормального вектора:

\[
A = n_x, B = n_y, C = -1, D = -(Ax_4 + By_4 + Cz_4)
\]

Таким образом, получим уравнение плоскости:

\[
n_x(x - x_4) + n_y(y - y_4) - (Ax_4 + By_4 + Cz_4) = 0
\]

е) Чтобы вычислить синус угла между прямой \(A_1A_4\) и плоскостью \(A_1A_2A_3\), нам понадобится знание нормальных векторов обеих линий - плоскости и прямой.

Нормальный вектор плоскости \(n\) мы уже нашли в пункте (а), а направляющий вектор прямой \(A_1A_4\) можно найти, используя координаты точек \(A_1\) и \(A_4\):

\[
\vec{v} = \begin{pmatrix} x_4 - x_1 \\ y_4 - y_1 \end{pmatrix}
\]

Затем нам необходимо вычислить скалярное произведение нормальных векторов плоскости и прямой:

\[
\vec{n} \cdot \vec{v} = n_x \cdot (x_4 - x_1) + n_y \cdot (y_4 - y_1)
\]

Далее, синус угла \(\theta\) между прямой \(A_1A_4\) и плоскостью \(A_1A_2A_3\) можно найти с помощью формулы:

\[
\sin(\theta) = \frac{{\vec{n} \cdot \vec{v}}}{{|\vec{n}| \cdot |\vec{v}|}}
\]

где \(|\vec{n}|\) и \(|\vec{v}|\) - это длины векторов \(\vec{n}\) и \(\vec{v}\) соответственно.

ж) Чтобы определить косинус угла между плоскостью \(Oxy\) и плоскостью \(A_1A_2A_3\), мы можем использовать нормальные векторы обеих плоскостей.

Нормальный вектор плоскости \(Oxy\) будет иметь значения \(A = 0\), \(B = 0\) и \(C = 1\).

Затем нам предстоит вычислить скалярное произведение нормальных векторов плоскостей:

\[
\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 + C_1 \cdot C_2
\]

Далее, косинус угла \(\theta\) между плоскостью \(Oxy\) и плоскостью \(A_1A_2A_3\) можно найти с помощью формулы:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}}{{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}}
\]

где \(|\vec{n_1}|\) и \(|\vec{n_2}|\) - это длины векторов \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) соответственно.

Вот и все! Это подробное решение задачи с обоснованиями и пошаговым решением, которое поможет школьнику понять каждый шаг. Если у тебя есть еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, спрашивай!