а) На какую планету оказывается сильнее притяжение со стороны звезды? Во сколько раз сильнее? б) Каково отношение

Для того чтобы решить эту задачу, необходимо учесть принципы гравитационного взаимодействия и формулу для расчета силы притяжения между двумя телами.

а) На какую планету оказывается сильнее притяжение со стороны звезды? Во сколько раз сильнее?

Сила притяжения между двумя телами определяется формулой:
\[F = G \frac{{m_1 m_2}}{{r^2}}\]
где F - сила притяжения, G - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, а r - расстояние между центрами тел.

Пусть планета 1 имеет массу \(m_1\) и расстояние до звезды \(r_1\), а планета 2 - массу \(m_2\) и расстояние до звезды \(r_2\).

Так как задача требует сравнить силы притяжения, то можно задать отношение силы притяжения планеты 1 к силе притяжения планеты 2:
\(\frac{{F_1}}{{F_2}} = \frac{{G \frac{{m_1 m_з}}{{r_1^2}}}}{{G \frac{{m_2 m_з}}{{r_2^2}}}}\), где \(F_1\) и \(F_2\) - силы притяжения планет 1 и 2 соответственно.

Выражение можно упростить:
\(\frac{{F_1}}{{F_2}} = \frac{{m_1 m_з}}{{m_2 m_з}} \cdot \frac{{r_2^2}}{{r_1^2}} = \frac{{m_1}}{{m_2}} \cdot \frac{{r_2^2}}{{r_1^2}}\)

Вопрос говорит о том, на какую планету оказывается сильнее притяжение. Планета, на которую оказывается сильнее притяжение, имеет большую силу притяжения. Выражение \(\frac{{F_1}}{{F_2}}\) должно быть больше 1.

Теперь рассмотрим варианты:
1. Если \(\frac{{F_1}}{{F_2}} > 1\), то сила притяжения на планету 1 сильнее, чем на планету 2. Она притягивает объекты сильнее в \(x\) раз, где \(x\) - значение \(\frac{{F_1}}{{F_2}}\).
2. Если \(\frac{{F_1}}{{F_2}} = 1\), то силы притяжения равны. В этом случае планеты притягивают объекты с одинаковой силой.
3. Если \(\frac{{F_1}}{{F_2}} < 1\), то сила притяжения на планету 2 сильнее, чем на планету 1. Она притягивает объекты сильнее в \(y\) раз, где \(y\) - обратное значение \(\frac{{F_1}}{{F_2}}\).

б) Каково отношение скоростей планет?

Отношение скоростей планет можно выразить через отношение силы притяжения и масс. Исходя из второго закона Ньютона \(F = ma\), где \(F\) - сила, \(m\) - масса, и \(a\) - ускорение объекта. Приравняв силу притяжения к \(ma\), можем получить \(a = \frac{{F}}{{m}}\).

Ускорение представляет собой изменение скорости объекта со временем. Для объекта, движущегося с постоянным ускорением можно выразить скорость с помощью формулы \(v = u + at\), где \(v\) - конечная скорость, \(u\) - начальная скорость, \(a\) - ускорение и \(t\) - время.

Поскольку нам дано, что сила притяжения на планету 1 сильнее, чем на планету 2, то можно сказать, что ускорения на планете 1 должны быть больше, чем на планете 2, так как сила пропорциональна ускорению при заданной массе объектов.

Таким образом, можно сказать, что скорость объекта, движущегося на планете 1, будет больше, чем на планете 2. Отношение скоростей можно представить как \(\frac{{v_1}}{{v_2}} = \frac{{a_1}}{{a_2}}\).

в) Каково отношение периодов обращения планет?

Период обращения планеты вокруг звезды зависит от ее скорости и расстояния до звезды. Планеты, находящиеся ближе к звезде, обращаются быстрее, чем планеты, находящиеся дальше от нее.

Период обращения (T) может быть выражен через длину окружности (C) и скорость (v) планеты следующим образом: \(T = \frac{{C}}{{v}}\).

Длина окружности можно выразить через расстояние (r) и пи (\(\pi\)): \(C = 2\pi r\). Подставив это выражение в формулу для периода обращения, получим \(T = \frac{{2\pi r}}{{v}}\).

Таким образом, отношение периодов обращения планет можно выразить следующим образом: \(\frac{{T_1}}{{T_2}} = \frac{{\frac{{2\pi r_1}}{{v_1}}}}{{\frac{{2\pi r_2}}{{v_2}}}}\).

Заметим, что \(\pi\) и \(2\) сокращаются в этом отношении, и останется \(\frac{{r_1}}{{v_1}}\) и \(\frac{{r_2}}{{v_2}}\).

Таким образом, отношение периодов обращения планет можно записать как \(\frac{{r_1}}{{v_1}} : \frac{{r_2}}{{v_2}}\).