а) На какой плоскости лежит диагональ A1C1, проходящая через вершину B? Изобразите сечение этой плоскостью

а) Для решения задачи нам необходимо определить, на какой плоскости лежит диагональ A1C1, проходящая через вершину B.

Изначально, чтобы найти уравнение плоскости, на которой лежит диагональ A1C1, нам понадобятся две точки, через которые она проходит. Очевидно, что эти точки - A1(0, 0, 0) и C1(l, m, n) - вершины параллелепипеда.

Вектор, направленный вдоль диагонали A1C1, можно записать как \( \vec{AC} = (l-0, m-0, n-0) = (l, m, n) \).

Теперь можем записать уравнение плоскости, проходящей через эти две точки. Уравнение плоскости можно записать в виде:

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

где A, B, C и D - коэффициенты, которые нужно найти. Нам нужно найти вектор нормали к этой плоскости, чтобы определить значения A, B и C.

Вектор нормали можно получить из векторного произведения векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -8 & -5 & 2 \\ l & m & n \end{vmatrix} \]

Посчитаем определители поменьше:

\[ \hat{i} \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ m & n \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} -8 & 2 \\ l & n \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} -8 & -5 \\ l & m \end{vmatrix} \]

\[ =(2n - 2m)\hat{i} - (8n - 2l)\hat{j} + (8m - 5l)\hat{k} = \vec{N} \]

У нас есть вектор нормали \(\vec{N}\), поэтому A, B и C могут быть найдены.

Теперь нужно записать уравнение плоскости, используя одну из точек A1 или C1 (в данном случае, возьмем точку C1):

\[ l(x - 0) + m(y - 0) + n(z - 0) = 0 \]

\[ lx + my + nz = 0 \]

Таким образом, получаем уравнение плоскости, на которой лежит диагональ A1C1, проходящая через вершину B.

Чтобы изобразить сечение этой плоскостью прямоугольного параллелепипеда, нужно построить пересечение этой плоскости с гранями параллелепипеда. В данной задаче, такие грани - это ABB1A1 и B1CC1B.

б) Для определения прямой, которая пересекает плоскости CAA1 и D1AC, нам снова потребуется вектор нормали к этой прямой.

Вектор нормали к плоскости CAA1 лежит в той же плоскости, где лежат вектора \(\vec{AC}\) и \(\vec{AA1}\). Вектор \(\vec{AA1}\) направлен вдоль грани A1B1C1D1 параллелепипеда, а это значит, что вектор \(\vec{AA1}\) можно получить как разность позиций вершин A1 и A:

\[ \vec{AA1} = (0, 0, 0) - (x_A, y_A, z_A) = (-x_A, -y_A, -z_A) \]

Теперь, чтобы найти вектор нормали к плоскости CAA1, будем использовать векторное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AA1}\):

\[ \vec{AC} \times \vec{AA1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ l & m & n \\ -x_A & -y_A & -z_A \end{vmatrix} \]

Посчитаем определители поменьше:

\[ \hat{i} \begin{vmatrix} m & n \\ -y_A & -z_A \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} l & n \\ -x_A & -z_A \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} l & m \\ -x_A & -y_A \end{vmatrix} \]

\[ = ((-mz_A + ny_A)\hat{i} - (-lz_A + nx_A)\hat{j} + (-ly_A + mx_A)\hat{k} = \vec{N"} \]

Теперь у нас есть вектор нормали \(\vec{N"}\), поэтому мы можем записать уравнение плоскости CAA1 в виде:

\[ ((-mz_A + ny_A)(x - x_A) - (-lz_A + nx_A)(y - y_A) + (-ly_A + mx_A)(z - z_A) = 0 \]

\[ (-mz_A + ny_A)x + (-lz_A + nx_A)y + (-ly_A + mx_A)z = lx_A + my_A + nz_A \]

таким образом, мы получим уравнение плоскости CAA1.

Мы можем сделать то же самое для плоскости D1AC с использованием векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{D1A}\).

Чтобы определить, как прямая размещена относительно грани A1B1C1D1, мы можем проверить, принадлежит ли пересечение плоскостей CAA1 и D1AC грани A1B1C1D1. Для этого можно взять любую точку пересечения плоскостей и проверить, удовлетворяют ли её координаты уравнению грани A1B1C1D1. Если да, то прямая пересекает A1B1C1D1.

Относительно ребра A1A также можно определить размещение прямой, проверив, проходит ли она через это ребро.

в) Чтобы найти длину ребра CB и координаты точки M∈AB, при условии, что CM=BM, нам потребуются некоторые формулы и уравнения.

Длина ребра CB может быть найдена с использованием формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Даны координаты точек C(6, 1, -4) и B(-8, -5, 2). Формула для расстояния между двумя точками \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\) выглядит следующим образом:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Подставляя значения координат точек C и B, получаем:

\[ d = \sqrt{(-8 - 6)^2 + (-5 - 1)^2 + (2 + 4)^2} \]

\[ d = \sqrt{(-14)^2 + (-6)^2 + (6)^2} \]

\[ d = \sqrt{196 + 36 + 36} \]

\[ d = \sqrt{268} \]

\[ d \approx 16.37 \]

Теперь давайте найдем координаты точки M∈AB, для которой CM = BM.

Так как CM = BM, то средняя точка между C и B будет располагаться на середине ребра CB. Вычислим координаты этой точки, используя средние значения координат C и B:

\[ x_M = \frac{(x_C + x_B)}{2} = \frac{(6 + (-8))}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
\[ y_M = \frac{(y_C + y_B)}{2} = \frac{(1 + (-5))}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
\[ z_M = \frac{(z_C + z_B)}{2} = \frac{(-4 + 2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Таким образом, координаты точки M∈AB будут (-1, -2, -1).