а) Какую область определения имеет функция f(x) = корень из -x^2 + 8x - 7? б) Какие промежутки возрастания и убывания

Давайте решим каждую задачу по очереди:

а) Чтобы определить область определения функции \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 8x - 7}\), нам нужно учесть ограничения на значения переменных в радикале. Корень квадратный из отрицательного числа не является вещественным числом. Поэтому нам необходимо решить неравенство \(-x^2 + 8x - 7 \geq 0\) для определения области определения функции.

Для начала, решим уравнение \(-x^2 + 8x - 7 = 0\) с помощью квадратного трехчлена. Решение даст нам точки, где график функции пересекает ось \(x\):

\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\)

В данном случае, \(a = -1\), \(b = 8\), и \(c = -7\). Подставляем значения:

\(x = \frac{{-8 \pm \sqrt{{8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-7)}}}}{{2 \cdot (-1)}}\)

\(x = \frac{{-8 \pm \sqrt{{64 - 28}}}}{{-2}}\)

\(x = \frac{{-8 \pm \sqrt{{36}}}}{{-2}}\)

\(x = \frac{{-8 \pm 6}}{{-2}}\)

Таким образом, получим два значения \(x_1 = 7\) и \(x_2 = 1\).

Теперь, построим таблицу знаков, чтобы понять, в каких интервалах неравенство \(-x^2 + 8x - 7 \geq 0\) выполняется:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & \text{Знак} \\
\hline
(-\infty, 1) & - \\
\hline
(1, 7) & + \\
\hline
(7, +\infty) & - \\
\hline
\end{array}
\]

Обратите внимание, что мы пропускаем точки \(x = 1\) и \(x = 7\), так как функция не определена в этих точках.

Итак, область определения функции \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 8x - 7}\) - это промежуток \((1, 7)\).

б) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 8x - 7}\), воспользуемся производной функции. Производная функции \(f"(x)\) может помочь нам определить поведение функции на разных интервалах.

Давайте найдем производную функции \(f"(x)\):

\[f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\sqrt{-x^2 + 8x - 7}\right)\]

Для упрощения, обозначим \(-x^2 + 8x - 7\) как \(g(x)\). Тогда нашу функцию можно записать как \(f(x) = \sqrt{g(x)}\).

\[g(x) = -x^2 + 8x - 7\]

Затем найдем производную \(g"(x)\):

\[g"(x) = -2x + 8\]

Теперь найдем значения \(x\), для которых \(g"(x) = 0\):

\[-2x + 8 = 0\]

\[-2x = -8\]

\[x = 4\]

Построим таблицу знаков для \(g"(x)\), чтобы определить промежутки возрастания и убывания:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & \text{Знак} \\
\hline
(-\infty, 4) & - \\
\hline
(4, +\infty) & + \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, функция \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 8x - 7}\) возрастает на интервале \((4, +\infty)\) и убывает на интервале \((-\infty, 4)\).

в) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 8x - 7}\) на отрезке \([3, ...]\), нам необходимо найти экстремумы функции на этом отрезке.

Сначала найдем производную \(f"(x)\) и приравняем ее к нулю:

\[f"(x) = 0\]

\[-2x + 8 = 0\]

\[x = 4\]

Теперь найдем значения функции \(f(x)\) в точках \(x = 3\), \(x = 4\) и \(x \to \infty\):

\[f(3) = \sqrt{-3^2 + 8 \cdot 3 - 7}\]
\[f(3) = \sqrt{-9 + 24 - 7}\]
\[f(3) = \sqrt{8}\]

\[f(4) = \sqrt{-4^2 + 8 \cdot 4 - 7}\]
\[f(4) = \sqrt{-16 + 32 - 7}\]
\[f(4) = \sqrt{9}\]

\[f(x \to \infty) = \sqrt{-\infty + \infty - 7}\]
\[f(x \to \infty) = \sqrt{-\infty}\]

Обратите внимание, что значение функции \(f(3)\) не может быть отрицательным, так как мы берем корень квадратный из отрицательного числа, что не является вещественным числом.

Наибольшее значение функции \(f(x)\) на отрезке \([3, ...]\) достигается в точке \(x = 4\) и равно 3. Наименьшего значения нет, так как функция не определена на отрезке \([3, ...]\).

Таким образом, на отрезке \([3, ...]\) функция \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 8x - 7}\) принимает наибольшее значение 3.