а) Каковы значения x, для которых функция y = -x^2 + 4x - 7 определена? б) Какие значения y могут принимать функция

Хорошо! Давайте начнем с первого вопроса.

а) Чтобы определить значения x, для которых функция \(y = -x^2 + 4x - 7\) определена, мы должны найти значения x, при которых функция имеет смысл, то есть не вызывает деление на ноль или извлечение комплексных чисел.

Для этого нам нужно решить неравенство: \(x^2 - 4x + 7 \geq 0\).

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод дискриминанта. Давайте сначала найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -4\), и \(c = 7\).

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12\]

Поскольку дискриминант отрицательный, это означает, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. То есть функция \(y = -x^2 + 4x - 7\) определена для всех значений x.

б) Чтобы найти значения y, которые может принимать функция \(y = -x^2 + 4x\), мы можем найти вершину параболы, которую эта функция представляет.

Вершина параболы имеет координаты \((h, k)\), где \(h = \frac{-b}{2a}\) и \(k\) равно значению функции при этом значении \(h\).

Для данной функции \(y = -x^2 + 4x\), коэффициент \(a = -1\) и коэффициент \(b = 4\). Подставим эти значения в формулу для \(h\):

\[h = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2\]

Теперь найдем значение функции при \(x = 2\) (то есть значение y при \(h = 2\)):

\[y = -(2)^2 + 4 \cdot (2) = -4 + 8 = 4\]

Итак, у нас есть вершина параболы с координатами \((2, 4)\). Это означает, что парабола открывается вниз и составляет вогнутое вниз "U" образное изображение по оси x. Поскольку парабола открывается вниз, значение функции \(y = -x^2 + 4x\) будет наибольшим при \(x = 2\) (в точке вершины параболы) и будет уменьшаться при движении в обоих направлениях от точки вершины.

Таким образом, функция \(y = -x^2 + 4x\) может принимать любое значение y, меньшее или равное 4. Вы можете выразить это в форме неравенства: \(y \leq 4\).