а) Каково уравнение сферы, если отрезок AB является ее диаметром, где A(2; −1; 4) и B(2; 7; 10)? б) Какое является

а) Каково уравнение сферы, если отрезок AB является ее диаметром, где A(2; −1; 4) и B(2; 7; 10)?
б) Какое является кратчайшее расстояние от точки на этой сфере до плоскости?
Космическая_Следопытка

Космическая_Следопытка

Да, конечно! Давайте решим задачу по порядку.

a) Для начала определим центр сферы, так как у нас есть диаметр AB. Чтобы найти центр, мы можем найти среднее значение координат точек A и B. Поэтому:

x0=xA+xB2=2+22=2

y0=yA+yB2=(1)+72=3

z0=zA+zB2=4+102=7

Таким образом, центр сферы имеет координаты (2, 3, 7).

Чтобы найти радиус сферы, нужно найти расстояние от центра сферы до любой из точек A или B. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

r=(xAx0)2+(yAy0)2+(zAz0)2

r=(22)2+((1)3)2+(47)2=(1)2+(4)2+(3)2=1+16+9=26

Теперь у нас есть радиус сферы, который равен 26. Следовательно, уравнение сферы имеет вид:

(x2)2+(y3)2+(z7)2=26

б) Чтобы найти кратчайшее расстояние от точки на этой сфере до плоскости, нам нужно найти перпендикуляр от точки до плоскости и измерить его длину.

Плоскость определяется уравнением вида Ax+By+Cz+D=0. Для этой плоскости нам даны точки A и B. Мы можем найти векторное уравнение плоскости, найдя два вектора, лежащих в плоскости, и их векторное произведение будет вектором нормали.

Так как плоскость должна быть перпендикулярна диаметру сферы, мы можем выбрать векторное произведение векторов AB и вектора, указывающего на центр сферы:

AB=(xBxAyByAzBzA)=(086)

AC=(xx0yy0zz0)

Теперь возьмем векторное произведение AB и AC:

N=AB×AC

N=(086)×(x2y3z7)

N=(8(z7)6(y3)6(x2)008(x2))

N=(8z+566y+186x128x+16)=(6x6y8z+726x128x+16)

Теперь мы можем использовать уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0 и подставить коэффициенты из вектора нормали:

6x6y8z+72=0

Таким образом, у нас есть уравнение плоскости. Чтобы найти кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости, мы можем найти расстояние от точки до плоскости, используя формулу:

d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2

Субституируя значения из данного уравнения плоскости, получим:

d=|626387+72|62+(6)2+(8)2=|121856+72|36+36+64=10136

Таким образом, кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости равняется 10136.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello