а) Каково уравнение сферы, если отрезок AB является ее диаметром, где A(2; −1; 4) и B(2; 7; 10)? б) Какое является

Да, конечно! Давайте решим задачу по порядку.

a) Для начала определим центр сферы, так как у нас есть диаметр AB. Чтобы найти центр, мы можем найти среднее значение координат точек A и B. Поэтому:

\(x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2+2}{2} = 2\)

\(y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{(-1)+7}{2} = 3\)

\(z_0 = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{4+10}{2} = 7\)

Таким образом, центр сферы имеет координаты (2, 3, 7).

Чтобы найти радиус сферы, нужно найти расстояние от центра сферы до любой из точек A или B. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[r = \sqrt{(x_A-x_0)^2 + (y_A-y_0)^2 + (z_A-z_0)^2}\]

\[r = \sqrt{(2-2)^2 + ((-1)-3)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}\]

Теперь у нас есть радиус сферы, который равен \(\sqrt{26}\). Следовательно, уравнение сферы имеет вид:

\((x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-7)^2 = 26\)

б) Чтобы найти кратчайшее расстояние от точки на этой сфере до плоскости, нам нужно найти перпендикуляр от точки до плоскости и измерить его длину.

Плоскость определяется уравнением вида \(Ax + By + Cz + D = 0\). Для этой плоскости нам даны точки A и B. Мы можем найти векторное уравнение плоскости, найдя два вектора, лежащих в плоскости, и их векторное произведение будет вектором нормали.

Так как плоскость должна быть перпендикулярна диаметру сферы, мы можем выбрать векторное произведение векторов AB и вектора, указывающего на центр сферы:

\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}\)

\(\vec{AC} = \begin{pmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \\ z-z_0 \end{pmatrix}\)

Теперь возьмем векторное произведение AB и AC:

\(\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}\)

\(\vec{N} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x-2 \\ y-3 \\ z-7 \end{pmatrix}\)

\(\vec{N} = \begin{pmatrix} -8(z-7) - 6(y-3) \\ 6(x-2) - 0 \\ 0 - 8(x-2) \end{pmatrix}\)

\(\vec{N} = \begin{pmatrix} -8z + 56 - 6y + 18 \\ 6x - 12 \\ -8x + 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x - 6y - 8z + 72 \\ 6x - 12 \\ -8x + 16 \end{pmatrix}\)

Теперь мы можем использовать уравнение плоскости вида \(Ax + By + Cz + D = 0\) и подставить коэффициенты из вектора нормали:

\(6x - 6y - 8z + 72 = 0\)

Таким образом, у нас есть уравнение плоскости. Чтобы найти кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости, мы можем найти расстояние от точки до плоскости, используя формулу:

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Субституируя значения из данного уравнения плоскости, получим:

\(d = \frac{|6\cdot2 - 6\cdot3 - 8\cdot7 + 72|}{\sqrt{6^2 + (-6)^2 + (-8)^2}} = \frac{|12 - 18 - 56 + 72|}{\sqrt{36 + 36 + 64}} = \frac{10}{\sqrt{136}}\)

Таким образом, кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости равняется \(\frac{10}{\sqrt{136}}\).