а) Каково уравнение сферы, если отрезок AB является ее диаметром, где A(2; −1; 4) и B(2; 7; 10)?
б) Какое является кратчайшее расстояние от точки на этой сфере до плоскости?
б) Какое является кратчайшее расстояние от точки на этой сфере до плоскости?
Космическая_Следопытка
Да, конечно! Давайте решим задачу по порядку.
a) Для начала определим центр сферы, так как у нас есть диаметр AB. Чтобы найти центр, мы можем найти среднее значение координат точек A и B. Поэтому:
Таким образом, центр сферы имеет координаты (2, 3, 7).
Чтобы найти радиус сферы, нужно найти расстояние от центра сферы до любой из точек A или B. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
Теперь у нас есть радиус сферы, который равен . Следовательно, уравнение сферы имеет вид:
б) Чтобы найти кратчайшее расстояние от точки на этой сфере до плоскости, нам нужно найти перпендикуляр от точки до плоскости и измерить его длину.
Плоскость определяется уравнением вида . Для этой плоскости нам даны точки A и B. Мы можем найти векторное уравнение плоскости, найдя два вектора, лежащих в плоскости, и их векторное произведение будет вектором нормали.
Так как плоскость должна быть перпендикулярна диаметру сферы, мы можем выбрать векторное произведение векторов AB и вектора, указывающего на центр сферы:
Теперь возьмем векторное произведение AB и AC:
Теперь мы можем использовать уравнение плоскости вида и подставить коэффициенты из вектора нормали:
Таким образом, у нас есть уравнение плоскости. Чтобы найти кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости, мы можем найти расстояние от точки до плоскости, используя формулу:
Субституируя значения из данного уравнения плоскости, получим:
Таким образом, кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости равняется .
a) Для начала определим центр сферы, так как у нас есть диаметр AB. Чтобы найти центр, мы можем найти среднее значение координат точек A и B. Поэтому:
Таким образом, центр сферы имеет координаты (2, 3, 7).
Чтобы найти радиус сферы, нужно найти расстояние от центра сферы до любой из точек A или B. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
Теперь у нас есть радиус сферы, который равен
б) Чтобы найти кратчайшее расстояние от точки на этой сфере до плоскости, нам нужно найти перпендикуляр от точки до плоскости и измерить его длину.
Плоскость определяется уравнением вида
Так как плоскость должна быть перпендикулярна диаметру сферы, мы можем выбрать векторное произведение векторов AB и вектора, указывающего на центр сферы:
Теперь возьмем векторное произведение AB и AC:
Теперь мы можем использовать уравнение плоскости вида
Таким образом, у нас есть уравнение плоскости. Чтобы найти кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости, мы можем найти расстояние от точки до плоскости, используя формулу:
Субституируя значения из данного уравнения плоскости, получим:
Таким образом, кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости равняется
Знаешь ответ?