а) Каково уравнение сферы, если отрезок AB является ее диаметром, где A(2; −1; 4) и B(2; 7; 10)? б) Какое является

Да, конечно! Давайте решим задачу по порядку.

a) Для начала определим центр сферы, так как у нас есть диаметр AB. Чтобы найти центр, мы можем найти среднее значение координат точек A и B. Поэтому:

$x_0=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2+2}{2}=2$

$y_0=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{(-1)+7}{2}=3$

$z_0=\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{4+10}{2}=7$

Таким образом, центр сферы имеет координаты (2, 3, 7).

Чтобы найти радиус сферы, нужно найти расстояние от центра сферы до любой из точек A или B. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

$$r=\sqrt{(x_A-x_0{)}^2+(y_A-y_0{)}^2+(z_A-z_0{)}^2}$$

$$r=\sqrt{(2-2{)}^2+((-1)-3{)}^2+(4-7{)}^2}=\sqrt{(-1{)}^2+(-4{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}$$

Теперь у нас есть радиус сферы, который равен $\sqrt{26}$. Следовательно, уравнение сферы имеет вид:

$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-7{)}^2=26$

б) Чтобы найти кратчайшее расстояние от точки на этой сфере до плоскости, нам нужно найти перпендикуляр от точки до плоскости и измерить его длину.

Плоскость определяется уравнением вида $Ax+By+Cz+D=0$. Для этой плоскости нам даны точки A и B. Мы можем найти векторное уравнение плоскости, найдя два вектора, лежащих в плоскости, и их векторное произведение будет вектором нормали.

Так как плоскость должна быть перпендикулярна диаметру сферы, мы можем выбрать векторное произведение векторов AB и вектора, указывающего на центр сферы:

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 6\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\\ z-z_0\end{array}\right)$

Теперь возьмем векторное произведение AB и AC:

$\overrightarrow{N}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{N}=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}x-2\\ y-3\\ z-7\end{array}\right)$

$\overrightarrow{N}=\left(\begin{array}{c}-8(z-7)-6(y-3)\\ 6(x-2)-0\\ 0-8(x-2)\end{array}\right)$

$\overrightarrow{N}=\left(\begin{array}{c}-8z+56-6y+18\\ 6x-12\\ -8x+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6x-6y-8z+72\\ 6x-12\\ -8x+16\end{array}\right)$

Теперь мы можем использовать уравнение плоскости вида $Ax+By+Cz+D=0$ и подставить коэффициенты из вектора нормали:

$6x-6y-8z+72=0$

Таким образом, у нас есть уравнение плоскости. Чтобы найти кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости, мы можем найти расстояние от точки до плоскости, используя формулу:

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Субституируя значения из данного уравнения плоскости, получим:

$d=\frac{|6\cdot 2-6\cdot 3-8\cdot 7+72|}{\sqrt{6^2+(-6{)}^2+(-8{)}^2}}=\frac{|12-18-56+72|}{\sqrt{36+36+64}}=\frac{10}{\sqrt{136}}$

Таким образом, кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости равняется $\frac{10}{\sqrt{136}}$.