а) Каково уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 6? б) Каковы координаты точки пересечения данной

Конечно, я помогу вам с задачей!

а) Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 6 может быть записано в общем виде:

\[x^2 + y^2 = r^2\]

где \(r\) - радиус окружности. В данном случае, радиус равен 6, поэтому уравнение окружности будет:

\[x^2 + y^2 = 6^2\]
\[x^2 + y^2 = 36\]

Это и есть уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 6.

б) Чтобы найти координаты точек пересечения данной окружности с прямой, нужно решить систему уравнений окружности и уравнения прямой. Для простоты рассмотрим прямую, проходящую через точку \((0, m)\), где \(m\) - некоторое число.

Уравнение прямой будет иметь вид:

\[y = mx\]

Подставим это уравнение в уравнение окружности:

\[x^2 + (mx)^2 = 36\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[x^2 + m^2x^2 = 36\]

Факторизуем выражение:

\[x^2(1 + m^2) = 36\]

Разделим обе части уравнения на \(1 + m^2\):

\[x^2 = \frac{36}{1 + m^2}\]

Возьмем корень из обеих частей:

\[x = \pm \sqrt{\frac{36}{1 + m^2}}\]

Теперь, чтобы найти координаты точек пересечения, подставим найденные значения \(x\) в уравнение прямой:

\[y = mx\]

Получим две пары координат для точек пересечения окружности с прямой:

\(\left(\sqrt{\frac{36}{1 + m^2}}, m \cdot \sqrt{\frac{36}{1 + m^2}}\right)\) и \(\left(-\sqrt{\frac{36}{1 + m^2}}, -m \cdot \sqrt{\frac{36}{1 + m^2}}\right)\)

Итак, координаты точек пересечения окружности с прямой определяются по формулам:

\[x = \pm \sqrt{\frac{36}{1 + m^2}}\]
\[y = mx\]

Где \(m\) - параметр, определяющий угол наклона прямой.