а) Какова площадь боковой поверхности конуса с сектором радиусом 4 см и центральным углом 150⁰? б) Каков радиус

Хорошо, давайте решим задачу по очереди.

а) Для начала найдем длину окружности основания конуса. Формула для нахождения длины окружности:
\[C = 2\pi r\]
где \(C\) - длина окружности, а \(r\) - радиус окружности.

У нас есть центральный угол, равный 150⁰, и радиус сектора равен 4 см. Центральный угол конуса величиной 360° соответствует полной окружности. Поэтому мы можем найти длину окружности полного круга, используя пропорцию:
\[\frac{{360^\circ}}{{150^\circ}} = \frac{{2\pi r}}{{4\text{ см}}}\]

Чтобы найти длину окружности полного круга, нужно подставить известные значения в формулу и решить уравнение относительно \(r\):
\[\frac{{360}}{{150}} = \frac{{2\pi r}}{{4}}\]

Для удобства решения упростим это уравнение:
\[2.4 = \frac{{\pi r}}{{2}}\]

Умножим обе стороны уравнения на 2:
\[4.8 = \pi r\]

Теперь разделим обе стороны уравнения на \(\pi\):
\[r = \frac{{4.8}}{{\pi}}\]

Таким образом, радиус конуса составляет \(\frac{{4.8}}{{\pi}}\) см.

б) Следующим шагом найдем площадь боковой поверхности конуса. Формула для нахождения площади боковой поверхности конуса:
\[S = \pi r l\]
где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(r\) - радиус основания, а \(l\) - образующая конуса.

Образующая конуса можно найти, используя формулу связи между образующей и центральным углом:
\[l = \frac{{2\pi r \alpha}}{{360^\circ}}\]
где \(\alpha\) - центральный угол конуса.

Подставим известные значения в формулу для образующей:
\[l = \frac{{2\pi \left(\frac{{4.8}}{{\pi}}\right) \cdot 150}}{{360^\circ}}\]

Упростим это уравнение:
\[l = \frac{{2 \cdot 4.8 \cdot 150}}{{360}}\]
\[l = \frac{{1152}}{{360}}\]
\[l = 3.2\]

Подставим найденные значения радиуса (\(\frac{{4.8}}{{\pi}}\)) и образующей (3.2) в формулу для площади боковой поверхности:
\[S = \pi \left(\frac{{4.8}}{{\pi}}\right) \cdot 3.2\]

Упростим это уравнение:
\[S = 4.8 \cdot 3.2\]
\[S = 15.36\]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна 15.36 квадратных сантиметров.

б) Наконец, найдем общую площадь поверхности конуса. Общая площадь поверхности конуса состоит из площади боковой поверхности и площади основания.

Формула для нахождения общей площади поверхности конуса:
\[S_{\text{общ}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}\]
где \(S_{\text{общ}}\) - общая площадь поверхности, \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания.

Мы уже нашли \(S_{\text{бок}}\) (15.36). Для нахождения \(S_{\text{осн}}\) воспользуемся формулой для площади окружности:
\[S_{\text{осн}} = \pi r^2\]

Подставим найденное значение радиуса (\(\frac{{4.8}}{{\pi}}\)) в формулу для площади основания:
\[S_{\text{осн}} = \pi \left(\frac{{4.8}}{{\pi}}\right)^2\]

Упростим это уравнение:
\[S_{\text{осн}} = 4.8^2\]
\[S_{\text{осн}} = 23.04\]

Теперь сложим \(S_{\text{бок}}\) и \(S_{\text{осн}}\) для нахождения общей площади поверхности конуса:
\[S_{\text{общ}} = 15.36 + 23.04\]
\[S_{\text{общ}} = 38.4\]

Таким образом, общая площадь поверхности данного конуса равна 38.4 квадратных сантиметра.