а) Каков диапазон значений x, для которых функция y = ctg(x/4) определена? б) Какой наименьший положительный интервал

а) Функция \(y = \cot\left(\frac{x}{4}\right)\) определена для любых значений, кроме тех, при которых \(\cot\left(\frac{x}{4}\right)\) не существует. Чтобы определить эти значения, нужно обратиться к определению тангенса и котангенса.

Тангенс угла равен отношению синуса угла к косинусу угла: \(\tan(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}}\).
Котангенс угла равен обратному отношению: \(\cot(x) = \frac{1}{{\tan(x)}} = \frac{{\cos(x)}}{{\sin(x)}}\).

Таким образом, чтобы найти значения, для которых функция определена, нужно убедиться, что \(\sin\left(\frac{x}{4}\right)\) не равно нулю.

Когда \(\sin\left(\frac{x}{4}\right) = 0\), значит \(x/4\) является кратным числом \(\pi\), то есть \(\frac{x}{4} = k\pi\), где \(k\) - целое число.

Теперь найдем диапазон значений \(x\). Умножаем обе части на 4: \(x = 4k\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, диапазон значений \(x\) для которых функция определена, можно записать как:

\[x \in \{4k\pi\}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}\]

б) Интервал повторения функции можно найти, определив наименьшее положительное значение \(h\), которое удовлетворяет условию:

\(\cot\left(\frac{x}{4}\right) = \cot\left(\frac{x+h}{4}\right)\)

Используя определение котангенса, перепишем это уравнение:

\(\frac{\cos\left(\frac{x}{4}\right)}{\sin\left(\frac{x}{4}\right)} = \frac{\cos\left(\frac{x+h}{4}\right)}{\sin\left(\frac{x+h}{4}\right)}\)

Домножим обе части на \(\sin\left(\frac{x}{4}\right)\sin\left(\frac{x+h}{4}\right)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(\cos\left(\frac{x}{4}\right)\sin\left(\frac{x+h}{4}\right) = \sin\left(\frac{x}{4}\right)\cos\left(\frac{x+h}{4}\right)\)

Теперь применим формулу произведения синуса и косинуса:

\(\frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{2x+h}{4}\right) - \sin\left(\frac{h}{4}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{x}{4}\right) - \sin\left(\frac{2x+h}{4}\right) \right]\)

Сокращаем общие слагаемые в обеих частях:

\(\sin\left(\frac{x}{4}\right) - \sin\left(\frac{h}{4}\right) = 0\)

\(\sin\left(\frac{x}{4}\right) = \sin\left(\frac{h}{4}\right)\)

Теперь нам нужно найти наименьшее положительное значение \(h\), при котором это равенство выполняется. Учитывая свойства синуса, одно из возможных значений для \(h\) - это наименьший положительный период синусоидальной функции, который равен \(2\pi\).

Таким образом, наименьший положительный интервал повторения функции \(y = \cot\left(\frac{x}{4}\right)\) составляет \(2\pi\).