а) Какое уравнение описывает траекторию материальной точки, если радиус-вектор меняется со временем по заданному

а) Для заданного закона изменения радиус-вектора \(r(t)\), мы можем найти уравнение траектории, используя определение радиус-вектора. Радиус-вектор \(r(t)\) - это вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве в момент времени \(t\).

Пусть \(r(t)\) состоит из компонентов \(x(t)\), \(y(t)\) и \(z(t)\), которые представляют собой функции времени \(t\). Тогда уравнение траектории может быть записано как:

\[r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}\]

Таким образом, у нас есть три уравнения для каждой оси (x, y, z), описывающие перемещение в пространстве в зависимости от времени.

Для графического изображения траектории, мы можем представить каждую компоненту \(x(t)\), \(y(t)\) и \(z(t)\) на соответствующих осях координат. Это позволит нам визуализировать траекторию материальной точки в трехмерном пространстве.

б) Проекции скорости материальной точки на оси координат - это компоненты скорости, которые определяют, с какой скоростью материальная точка движется вдоль каждой оси координат. Обычно оси координат обозначаются как \(x\), \(y\) и \(z\).

Пусть \(V_x\), \(V_y\) и \(V_z\) обозначают проекции скорости материальной точки на оси \(x\), \(y\) и \(z\) соответственно. Тогда мы можем записать вектор скорости как:

\[V = \begin{pmatrix} V_x \\ V_y \\ V_z \end{pmatrix}\]

Таким образом, проекции скорости являются компонентами вектора скорости, которые показывают скорость движения материальной точки вдоль каждой оси координат.

в) Для вычисления вектора скорости и вектора ускорения в момент времени \(t_1\), нам необходимо знать законы изменения радиус-вектора \(r(t)\), скорости \(V(t)\) и ускорения \(A(t)\) в зависимости от времени.

Исходя из данных, у нас есть следующие законы изменения радиуса-вектора:

Ускорение \(A = 16 \, м/с^2\)

Скорость \(V = 12 \, м/с\)

Момент времени \(t_1 = 0.1 \, с\)

Для нахождения вектора скорости \(V(t_1)\) в момент времени \(t_1\), мы можем использовать производную радиус-вектора по времени, как показано ниже:

\[V(t_1) = \frac{{dr}}{{dt}}\Bigr|_{t=t_1}\]

Аналогично, для нахождения вектора ускорения \(A(t_1)\) в момент времени \(t_1\), мы можем использовать производную скорости по времени:

\[A(t_1) = \frac{{dV}}{{dt}}\Bigr|_{t=t_1}\]

Подставив данные значения ускорения и скорости, мы можем вычислить значения векторов скорости и ускорения в момент времени \(t_1\).