А) Какие значения x удовлетворяют уравнению √6sin^2x+cosx=2sin(x+π/6)? б) Какие значения x являются корнями данного

Давайте начнем с решения уравнения:
а) У нас есть уравнение $\sqrt{6}{\sin }^2(x)+\cos (x)=2\sin (x+\frac{\pi }{6})$.

Для начала, давайте приведем выражение $\sin (x+\frac{\pi }{6})$ к виду $\sin (x)$ и $\cos (x)$.
Используя тригонометрические тождества, мы можем записать $\sin (x+\frac{\pi }{6})$ следующим образом:

$\sin (x+\frac{\pi }{6})=\sin (x)\cos (\frac{\pi }{6})+\cos (x)\sin (\frac{\pi }{6})$.

Теперь, подставим это обратно в исходное уравнение:

$\sqrt{6}{\sin }^2(x)+\cos (x)=2(\sin (x)\cos (\frac{\pi }{6})+\cos (x)\sin (\frac{\pi }{6}))$.

Теперь, раскроем скобки используя свойства тригонометрических функций:

$\sqrt{6}{\sin }^2(x)+\cos (x)=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (x)+\frac{1}{2}\cos (x))$.

Далее, упростим это уравнение, учитывая, что $\cos (\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin (\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$:

$\sqrt{6}{\sin }^2(x)+\cos (x)=\sqrt{3}\sin (x)+\cos (x)$.

Теперь, перенесем все члены в одну сторону:

$\sqrt{6}{\sin }^2(x)-\sqrt{3}\sin (x)=0$.

Используя свойство тождественного равенства $\sin (x)=0$, мы можем записать это уравнение так:

$\sin (x)(\sqrt{6}\sin (x)-\sqrt{3})=0$.

Теперь, чтобы найти значения $x$, удовлетворяющие этому уравнению, мы рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sin (x)=0$.

В этом случае, $\sin (x)$ равно нулю при $x=0$ и $x=\pi$.

Случай 2: $\sqrt{6}\sin (x)-\sqrt{3}=0$.

Перенесем $\sqrt{6}\sin (x)$ на другую сторону:

$\sqrt{6}\sin (x)=\sqrt{3}$.

Затем разделим обе стороны на $\sqrt{6}$:

$\sin (x)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$.

Упростим подкоренное выражение:

$\sin (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует углу $\frac{\pi }{4}$ на единичной окружности.

Таким образом, $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n$ и $x=\pi -\frac{\pi }{4}+2\pi n$, где $n$ - целое число.

Итак, значения $x$, удовлетворяющие данному уравнению, это $x=0,\pi ,\frac{\pi }{4}+2\pi n$, и $x=\pi -\frac{\pi }{4}+2\pi n$, где $n$ - целое число.

б) Чтобы найти значения $x$, являющиеся корнями данного уравнения на интервале $(3\pi ;\frac{9\pi }{2})$, мы можем ограничить наше решение значениями $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n$, которые попадают в этот интервал (где $n$ - целое число).

Таким образом, значения $x$, являющиеся корнями данного уравнения на указанном интервале, это $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n$, где $n$ - такое целое число, что $x$ попадает в заданный интервал.

Надеюсь, чтобы эти шаги помогли вам лучше понять решение данного уравнения. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их!