А) Какие значения x удовлетворяют уравнению √6sin^2x+cosx=2sin(x+π/6)? б) Какие значения x являются корнями данного

Давайте начнем с решения уравнения:
а) У нас есть уравнение \(\sqrt{6}\sin^2(x) + \cos(x) = 2\sin(x + \frac{\pi}{6})\).

Для начала, давайте приведем выражение \(\sin(x + \frac{\pi}{6})\) к виду \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\).
Используя тригонометрические тождества, мы можем записать \(\sin(x + \frac{\pi}{6})\) следующим образом:

\(\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin(x)\cos(\frac{\pi}{6}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{6})\).

Теперь, подставим это обратно в исходное уравнение:

\(\sqrt{6}\sin^2(x) + \cos(x) = 2(\sin(x)\cos(\frac{\pi}{6}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{6}))\).

Теперь, раскроем скобки используя свойства тригонометрических функций:

\(\sqrt{6}\sin^2(x) + \cos(x) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x))\).

Далее, упростим это уравнение, учитывая, что \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\):

\(\sqrt{6}\sin^2(x) + \cos(x) = \sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)\).

Теперь, перенесем все члены в одну сторону:

\(\sqrt{6}\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x) = 0\).

Используя свойство тождественного равенства \(\sin(x) = 0 \), мы можем записать это уравнение так:

\(\sin(x)(\sqrt{6}\sin(x) - \sqrt{3}) = 0\).

Теперь, чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению, мы рассмотрим два случая:

Случай 1: \(\sin(x) = 0\).

В этом случае, \(\sin(x)\) равно нулю при \(x = 0\) и \(x = \pi\).

Случай 2: \(\sqrt{6}\sin(x) - \sqrt{3} = 0\).

Перенесем \(\sqrt{6}\sin(x)\) на другую сторону:

\(\sqrt{6} \sin(x) = \sqrt{3}\).

Затем разделим обе стороны на \(\sqrt{6}\):

\(\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\).

Упростим подкоренное выражение:

\(\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Значение \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) соответствует углу \(\frac{\pi}{4}\) на единичной окружности.

Таким образом, \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\) и \(x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Итак, значения \(x\), удовлетворяющие данному уравнению, это \(x = 0, \pi, \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), и \(x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

б) Чтобы найти значения \(x\), являющиеся корнями данного уравнения на интервале \((3\pi ; \frac{9\pi}{2})\), мы можем ограничить наше решение значениями \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), которые попадают в этот интервал (где \(n\) - целое число).

Таким образом, значения \(x\), являющиеся корнями данного уравнения на указанном интервале, это \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n\) - такое целое число, что \(x\) попадает в заданный интервал.

Надеюсь, чтобы эти шаги помогли вам лучше понять решение данного уравнения. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их!