а) Как изменится температура булочек, когда они охлаждаются в течение 20 минут от 100 до 40 градусов? б) Сколько

a) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу охлаждения Ньютона:
\[T(t) = T_0 + (T_s - T_0) \cdot e^{-kt}\]
Где:
\(T(t)\) - температура в определенный момент времени,
\(T_0\) - исходная температура булочек,
\(T_s\) - окружающая температура (в данном случае 40 градусов),
\(t\) - время, прошедшее с начала охлаждения,
\(k\) - коэффициент охлаждения, который мы можем найти из данных.

Для нахождения \(k\) нам нужно знать время полуразложения, то есть время, за которое температура уменьшится в два раза.
Мы знаем, что когда прошло время полуразложения, \(T(t)\) будет равно \(\frac{T_0 + T_s}{2}\).
Подставляя это значение в формулу охлаждения, получаем:
\[\frac{T_0 + T_s}{2} = T_0 + (T_s - T_0) \cdot e^{-k \cdot t_{\frac{1}{2}}}\]
Где \(t_{\frac{1}{2}}\) - время полуразложения.

Решая это уравнение относительно \(k\), получаем:
\[k = \frac{1}{t_{\frac{1}{2}}} \cdot \ln\left(\frac{T_0 - T_s}{T_0 - \frac{T_0 + T_s}{2}}\right)\]

Теперь у нас есть все данные для решения задачи. Подставим значения:
\(T_0 = 100\) (исходная температура булочек),
\(T_s = 40\) (окружающая температура),
\(t = 20\) (время охлаждения в минутах).

Для начала нам нужно найти \(t_{\frac{1}{2}}\). Подставим известные значения в уравнение:
\[\frac{100 + 40}{2} = 100 + (40 - 100) \cdot e^{-k \cdot t_{\frac{1}{2}}}\]
\[\frac{140}{2} = -60 \cdot e^{-k \cdot t_{\frac{1}{2}}}\]
\[70 = -60 \cdot e^{-k \cdot t_{\frac{1}{2}}}\]

Теперь найдем \(k\):
\[k = \frac{1}{t_{\frac{1}{2}}} \cdot \ln\left(\frac{100 - 40}{100 - \frac{100 + 40}{2}}\right) \approx 0.0921\]

Используя полученное значение \(k\), мы можем найти температуру булочек в определенный момент времени \(t\):
\[T(t) = 100 + (40 - 100) \cdot e^{-0.0921 \cdot t}\]

Подставим \(t = 20\) и решим уравнение:
\[T(20) = 100 + (40 - 100) \cdot e^{-0.0921 \cdot 20} \approx 51.84\]

Таким образом, после 20 минут охлаждения температура булочек будет примерно 51.84 градусов.

b) Чтобы найти время, за которое температура булочек упадет с момента начала охлаждения, нам нужно найти \(t\) из уравнения:
\[40 = 100 + (40 - 100) \cdot e^{-0.0921 \cdot t}\]

Решая это уравнение, получаем:
\[e^{-0.0921 \cdot t} = \frac{40 - 100}{-60}\]
\[e^{-0.0921 \cdot t} = \frac{5}{3}\]
\[-0.0921 \cdot t = \ln\left(\frac{5}{3}\right)\]
\[t = \frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{-0.0921} \approx 9.27\]

Таким образом, для того чтобы температура булочек упала с момента начала охлаждения, потребуется примерно 9.27 минут.