а) Из одной точки отрезаны перпендикуляр и наклонная, так чтобы углы, образованные наклонной с ее проекцией

а) Для начала рассмотрим треугольник, образованный перпендикуляром и наклонной. Пусть угол между наклонной и ее проекцией на плоскость будет \( \alpha \), а угол между наклонной и перпендикуляром будет тоже \( \alpha \).

Теперь рассмотрим плоскость, в которой находится перпендикуляр и наклонная. Пусть угол между наклонной и этой плоскостью будет \( \beta \).

Так как угол между наклонной и перпендикуляром равен \( \alpha \), а угол между наклонной и плоскостью равен \( \beta \), то сумма этих углов должна быть \( 90^\circ \), так как перпендикуляр образует прямой угол с плоскостью.

Итак, у нас есть:

\(\alpha + \alpha + \beta = 90^\circ\)

Учитывая, что углы \(\alpha\) равны друг другу, мы можем переписать уравнение:

\(2\alpha + \beta = 90^\circ\)

Отсюда мы видим, что значение угла между наклонной и плоскостью равно \(90^\circ - 2\alpha\).

б) Чтобы найти значение угла ВНС, нам нужно рассмотреть треугольник ВНС. Здесь ребро АС является высотой этого треугольника.

Поскольку ребро АС перпендикулярно плоскости грани ВСD, а отрезок АН является высотой грани АВD, то треугольник ВНС является подобным треугольнику АВД (по признаку "высота прямоугольного треугольника"). Это означает, что соответствующие углы треугольников ВНС и АВД равны между собой.

Так как треугольник АВД - прямоугольный, угол В с вершиной в А будет \(90^\circ\). Значит, угол ВНС также равен \(90^\circ\).

3. а) Для проверки справедливости утверждения, рассмотрим треугольник ABC, которые является равносторонним. Отрезок ED перпендикулярен к прямой AC, если и только если он перпендикулярен к плоскости, которая содержит эту прямую. То есть, для проверки утверждения, нам нужно показать, что отрезок OE перпендикулярен плоскости (ABC).

Если треугольник ABC равносторонний, то он имеет все стороны и углы равными. В этом случае, плоскость (ABC) будет вертикальной плоскостью, так как все стороны и углы стоят одинаково относительно земли (плоскости). Отрезок OE будет проходить через центр равностороннего треугольника и его вершины E, значит он будет перпендикулярен плоскости (ABC).

Таким образом, утверждение справедливо.

б) Отрезок OF будет перпендикулярен к прямой EF, если и только если он будет лежать в плоскости, проходящей через эту прямую. В случае правильного шестиугольника ABCDEF, плоскость будет проходить через прямую EF, значит отрезок OF будет перпендикулярен к прямой EF.

Таким образом, утверждение также справедливо.