a) Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Углы, образованные наклонной с ее проекцией

a) Изобразим данную ситуацию на плоскости:

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (6,0) node[right] {x};
\draw[->] (0,0) -- (0,4) node[above] {y};
\draw[dashed] (1.5,1.5) -- (4.5,2.5) node[above] {$N$};
\draw[dashed] (1.5,1.5) -- (1.5,0) node[below] {$M$};
\draw[->] (1.5,1.5) -- (6,1.5) node[right] {x"};
\draw[->] (1.5,1.5) -- (1.5,4) node[above] {y"};
\draw[->] (1.5,1.5) -- (5,3.51) node[right] {$P$};
\draw (1.5,1.5) -- (5,1.5);
\draw (1.5,1.5) -- (1.5,3);
\draw (1.5,1.5) -- (4.087,3);
\draw[dashed] (4.087,3) -- (4.087,1.5);
\draw[dashed] (4.087,3) -- (1.5,3);
\draw (1.5,3) -- (1.5,1.8) node[right] {$\theta$};
\draw (4.087,1.5) arc (0:28:1) node[right] {$\theta$};
\draw[->] (2.5,1.2) arc (0:28:1) node[midway,above] {$\theta$};
\end{tikzpicture}
\]

Пусть точки M и N - это проекции точки P на оси x и y соответственно. Также пусть угол между наклонной и ее проекцией (NM) равен \(\theta\).

Мы знаем, что углы, образованные наклонной (NP) с ее проекцией (NM) и с перпендикуляром (MP), равны. Поэтому угол MNП равен \(\theta\).

Так как MN - это сторона прямоугольного треугольника NMP, а MP - это гипотенуза, то угол MNП равен углу NMP.

От геометрии известно, что если угол между наклонной и ее проекцией равен углу между наклонной и перпендикуляром, то наклонная перпендикулярна плоскости.

Таким образом, ответом на задачу а) является то, что угол между наклонной и плоскостью равен \(\theta\).

b) Изобразим данную ситуацию на плоскости:

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (4,0) node[right] {x};
\draw[->] (0,0) -- (0,4) node[above] {y};
\draw[dashed] (1,1) -- (3,1.5) node[above] {$N$};
\draw[->] (1,1) -- (4,1) node[right] {x"};
\draw[->] (1,1) -- (1,4) node[above] {y"};
\draw[->] (1,1) -- (3.5,2.7) node[right] {$P$};
\draw (1,1) -- (1,3) node[left] {$H$};
\draw (1,1) -- (3,2) node[right] {$C$};
\draw[dashed] (0,3) -- (4,3) node[right] {y"};
\draw[dashed] (0,3) -- (0,1) node[below] {$M$};
\draw[dashed] (1,1) -- (1,0) node[below] {$A$};
\draw (1,3) -- (3,3);
\draw[dashed] (3,3) -- (3,2);
\draw (1,1) -- (3,1) node[right] {$B$};
\draw[->] (1,1.5) arc (0:18:0.7) node[midway,right] {$\alpha$};
\end{tikzpicture}
\]

Пусть точки M и N - это проекции точки P на оси x и y соответственно. Также пусть угол между ребром AC и плоскостью ABCD равен \(\alpha\).

Мы знаем, что ребро AC перпендикулярно к плоскости грани ABCD. Поэтому сегмент PHC также является перпендикуляром к плоскости.

Так как AC - это сторона прямоугольного треугольника PHC, а PH - это гипотенуза, то угол PHC равен углу HPC.

От геометрии известно, что если ребро AC перпендикулярно к плоскости грани ABCD, то грань ABD перпендикулярна к ребру AC в точке H. Таким образом, угол BHC равен \(\alpha\).

Ответ на задачу b) - угол BHC равен \(\alpha\).

3. a) Нет, утверждение неверно. Приведем контрпример: пусть треугольник ABC является равносторонним, а точка D - произвольная точка на прямой AC (см. рисунок).

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (6,0) node[right] {x};
\draw[->] (0,0) -- (0,4) node[above] {y};
\draw (1,0) -- (3,0);
\draw (1,0) -- (2,3);
\draw[dashed] (2,3) -- (2,0);
\draw[dashed] (2,3) -- (3,0);
\end{tikzpicture}
\]

В этом случае, отрезок ED будет параллелен отрезку AC, но не перпендикулярен ему.

b) Нет, утверждение также неверно. Рассмотрим контрпример: пусть шестиугольник ABCDEF является правильным, а точка O - произвольная точка на прямой EF (см. рисунок).

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (6,0) node[right] {x};
\draw[->] (0,0) -- (0,4) node[above] {y};
\draw (1,0) -- (5,0);
\draw (1,0) -- (2,3.464);
\draw[dashed] (2,3.464) -- (2,0);
\draw[dashed] (2,3.464) -- (5,0);
\end{tikzpicture}
\]

В этом случае, отрезок OF будет параллелен отрезку EF, но не перпендикулярен ему.

Таким образом, утверждение и для пункта а), и для пункта б) неверно.

4. Чтобы дать ответ на этот вопрос, нам нужно знать, что означают буквы E, D, O, F, B и длины отрезков ED и EF. Можете уточнить задачу?