a) Докажите, что точка B₁ принадлежит плоскости АМИ. б) Если параллелепипед прямоугольный и его диагональ

a) Чтобы доказать, что точка B₁ принадлежит плоскости АМИ, мы должны убедиться, что координаты точки B₁ удовлетворяют уравнению плоскости АМИ.

Пусть А (x₁, y₁, z₁), М (x₂, y₂, z₂) и I (x₃, y₃, z₃) - вершины треугольника АМИ, а B₁ - точка, которую нам нужно проверить.

Уравнение плоскости может быть записано в виде:

\(Ax + By + Cz + D = 0\)

где A, B, C и D - некоторые константы, а (x, y, z) - координаты любой точки плоскости.

Теперь давайте вставим координаты точки B₁ в это уравнение и проверим, выполняется ли оно.

Подставим координаты точки B₁ (x₄, y₄, z₄) в уравнение плоскости:

\(A(x₄) + B(y₄) + C(z₄) + D = 0\)

Если это уравнение истинно, то точка B₁ принадлежит плоскости АМИ.

b) Если параллелепипед прямоугольный, то все его диагонали, включая BD₁, будут перпендикулярны плоскости АМИ. Чтобы найти угол между плоскостями АМИ и А₁В₁С₁, нам понадобится знание векторного произведения.

Векторное произведение двух векторов определяется как вектор, перпендикулярный плоскости, образованной двумя исходными векторами. Используя свойства векторного произведения, мы можем найти нормальный вектор для каждой плоскости и затем найти угол между ними.

Пусть \(\vec{A₁М₁} = \vec{A₁} - \vec{М₁}\) и \(\vec{A₁В₁С₁} = \vec{A₁} - \vec{В₁} - \vec{С₁}\) будут векторами, лежащими в плоскостях АМИ и А₁В₁С₁ соответственно.

Тогда нормальные векторы для каждой плоскости будут определены как \(n₁ = \vec{A₁М₁} \times \vec{A₁В₁С₁}\).

Найденные нормальные векторы будут перпендикулярны своим плоскостям. Затем найдем косинус угла между этими векторами с помощью формулы:

\(\cos(\theta) = \frac{{n₁ \cdot n₂}}{{\|n₁\| \cdot \|n₂\|}}\)

где \(n₁ \cdot n₂\) - скалярное произведение векторов, а \(\|n₁\|\) и \(\|n₂\|\) - длины векторов \(n₁\) и \(n₂\) соответственно.

Зная косинус угла, можно найти сам угол \(\theta\).