а) Докажите, что расстояние между концами часовой и минутной стрелок на механических часах в 16:00 и 20:00 одинаково

Добро пожаловать! Для решения данной задачи нам необходимо рассмотреть два случая: расстояние между концами стрелок на механических часах в 16:00 (4 часа дня) и в 20:00 (8 часов вечера), а также найти момент времени, когда расстояние между концами стрелок будет таким же.

а) Для начала, определим сколько часов и минут прошло после 16:00 до 20:00.

Между 4 часами дня и 8 часами вечера проходит 4 часа времени. Так как на часах у нас 12 часов, то это эквивалентно двум полным оборотам часовой стрелки. Заметим, что за это время минутная стрелка сделает 4 полных оборота (каждый час по одному обороту).

Теперь рассмотрим расстояние между концами стрелок в 16:00. На момент 16:00 часовая стрелка указывает на 4, а минутная стрелка на 12. Расстояние между ними составляет 8 (4 - 12 = -8, но мы берем по модулю, то есть |4 - 12| = 8).

Таким образом, на момент 16:00 расстояние между концами стрелок равно 8.

Теперь рассмотрим расстояние между концами стрелок в 20:00. Поскольку за это время оба стрелки сделали по два полных оборота, они снова окажутся в исходных положениях. То есть, в 20:00 часовая стрелка снова будет указывать на 4, а минутная стрелка - на 12.

Таким образом, на момент 20:00 расстояние между концами стрелок также равно 8.

Итак, мы доказали, что расстояние между концами часовой и минутной стрелок на механических часах в 16:00 и 20:00 одинаково и составляет 8 единиц.

б) Теперь рассмотрим вторую часть задачи – момент времени, когда расстояние между концами стрелок такое же.

Поскольку часовая стрелка делает полный оборот за 12 часов, а минутная стрелка – за 1 час, то они встретятся в тот момент времени, когда расстояние между ними будет составлять 0 единиц.

Давайте представим, что прошло \(x\) часов и \(y\) минут после 16:00 (4 часа дня). Тогда положение часовой стрелки будет определяться формулой \(4 + \frac{{x + \frac{y}{60}}}{12}\), а положение минутной стрелки - формулой \(12 + \frac{y}{60}\).

Составим уравнение, приравняв положение часовой и минутной стрелок:

\[4 + \frac{{x + \frac{y}{60}}}{12} = 12 + \frac{y}{60}\]

Решим это уравнение, выполнив необходимые арифметические действия:

\[4 + \frac{{x + \frac{y}{60}}}{12} = 12 + \frac{y}{60}\]
\[\frac{{x + \frac{y}{60}}}{12} = 8 + \frac{y}{60}\]
\[x + \frac{y}{60} = 96 + 8\frac{y}{60}\]
\[x + \frac{y}{60} - 8\frac{y}{60} = 96\]
\[x - \frac{7y}{60} = 96\]
\[x = 96 + \frac{7y}{60}\]

Таким образом, момент времени, когда расстояние между концами стрелок будет 0 единиц, можно описать формулой \(x = 96 + \frac{7y}{60}\), где \(x\) - количество часов, прошедших после 16:00, а \(y\) - количество минут, прошедших после 16:00.

Теперь, чтобы найти, в какой момент времени расстояние между концами стрелок будет 0, подставим различные значения для \(y\) и найдем соответствующие значения \(x\). Например, когда \(y = 0\), получим:

\[x = 96 + \frac{7 \cdot 0}{60} = 96\]

То есть, когда прошло 96 часов после 16:00 (4 часа дня), расстояние между концами стрелок будет 0.

Другие значения \(y\), при которых расстояние между стрелками равно 0, можно найти аналогичным образом, подставляя значения и рассчитывая \(x\).

Надеюсь, что объяснение было полное и понятное!