Какова длина проекции и перпендикуляра, если длина наклонной составляет 12 см и угол между наклонной и перпендикуляром

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:

\[
\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}}
\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - это длины сторон треугольника, а \(A\), \(B\), и \(C\) - соответствующие им углы.

В нашем случае, наклонная является гипотенузой прямоугольного треугольника, перпендикуляр - это один из его катетов, а угол между наклонной и перпендикуляром равен 30°.

Обозначим длину наклонной как \(c = 12\) см. Также, обозначим длину перпендикуляра как \(a\) и длину проекции как \(b\). Угол между наклонной и перпендикуляром обозначим как \(B = 30°\).

Теперь мы можем применить теорему синусов для нашего треугольника:

\[
\frac{{a}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}}
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
\frac{{a}}{{\sin 30°}} = \frac{{12}}{{\sin 90°}}
\]

Раскрывая синусы, получаем:

\[
\frac{{a}}{{\frac{{1}}{{2}}}} = \frac{{12}}{{1}}
\]

Умножая обе части уравнения на 2, получаем:

\[
2a = 12
\]

Делим обе части уравнения на 2, получаем:

\[
a = 6
\]

Таким образом, длина перпендикуляра равна 6 см.

Для того чтобы найти длину проекции, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как перпендикуляр и проекция образуют прямоугольный треугольник.

Теорема Пифагора гласит:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
12^2 = 6^2 + b^2
\]

Выполняя операции, получаем:

\[
144 = 36 + b^2
\]

Вычитая 36 из обеих частей уравнения, получаем:

\[
108 = b^2
\]

Извлекая корень из обеих частей уравнения, получаем:

\[
b = \sqrt{108}
\]

Упрощая подкоренное выражение, получаем:

\[
b = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}
\]

Итак, длина проекции равна \(6\sqrt{3}\) см.

Таким образом, длина перпендикуляра равна 6 см, а длина проекции равна \(6\sqrt{3}\) см.