А) Докажите, что если каждый член арифметической прогрессии (аn) увеличить на одно и то же число, то полученная

А) Давайте докажем, что если каждый член арифметической прогрессии \(a_n\) увеличить на одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией.

Пусть есть арифметическая прогрессия \(a_n\) с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\). То есть, каждый следующий член можно вычислить по формуле \(a_n = a_1 + (n-1)d\) для любого натурального числа \(n\).

Если мы увеличим каждый член на одно и то же число \(k\), то новая последовательность будет иметь вид \(b_n = a_n + k\).

Давайте подставим \(a_n\) в формулу для \(b_n\):

\[b_n = a_n + k = (a_1 + (n-1)d) + k\]

Теперь давайте перепишем это выражение, чтобы выделить общую разность новой последовательности:

\[b_n = a_1 + (n-1)d + k = a_1 + (n-1)d + kd\]

Мы видим, что разность новой последовательности равна сумме разности и числа \(kd\). Поскольку \(k\) - это постоянное число, умножение на \(k\) также является постоянным действием.

Таким образом, мы доказали, что если каждый член арифметической прогрессии \(a_n\) увеличить на одно и то же число, то полученная последовательность \(b_n\) также будет арифметической прогрессией с такой же разностью \(d\).

Чтобы подтвердить это утверждение, рассмотрим пример:

Пусть имеется арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 2\) и разностью \(d = 3\). То есть, каждый член может быть найден по формуле \(a_n = 2 + (n-1)3\).

Если мы увеличим каждый член на число \(k = 4\), то новая последовательность будет иметь вид \(b_n = a_n + 4\).

Давайте вычислим несколько членов из обоих последовательностей:

Для исходной последовательности:
\(a_1 = 2\)
\(a_2 = 2 + (2-1)3 = 5\)
\(a_3 = 2 + (3-1)3 = 8\)

Для новой последовательности:
\(b_1 = 2 + 4 = 6\)
\(b_2 = 5 + 4 = 9\)
\(b_3 = 8 + 4 = 12\)

Мы видим, что новая последовательность \(b_n\) также является арифметической прогрессией с разностью \(d = 3\). Таким образом, этот пример подтверждает наше утверждение.

Б) Теперь давайте докажем, что если каждый член некоторой арифметической прогрессии \(a_n\) умножить на одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией.

Пусть есть арифметическая прогрессия \(a_n\) с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\).

Если каждый член умножить на одно и то же число \(k\), то новая последовательность будет иметь вид \(c_n = ka_n\).

Давайте подставим \(a_n\) в формулу для \(c_n\):

\[c_n = ka_n = k(a_1 + (n-1)d)\]

Теперь давайте раскроем скобки:

\[c_n = k(a_1 + nd - d) = ka_1 + knd - kd\]

Мы видим, что разность новой последовательности равна \(kd\), что также является постоянным числом.

Таким образом, мы доказали, что если каждый член некоторой арифметической прогрессии \(a_n\) умножить на одно и то же число \(k\), то полученная последовательность \(c_n\) также будет арифметической прогрессией с такой же разностью \(d\).

Чтобы подтвердить это утверждение, рассмотрим пример:

Пусть имеется арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 2\) и разностью \(d = 3\). То есть, каждый член может быть найден по формуле \(a_n = 2 + (n-1)3\).

Если каждый член умножить на число \(k = 5\), то новая последовательность будет иметь вид \(c_n = 5a_n\).

Давайте вычислим несколько членов из обоих последовательностей:

Для исходной последовательности:
\(a_1 = 2\)
\(a_2 = 2 + (2-1)3 = 5\)
\(a_3 = 2 + (3-1)3 = 8\)

Для новой последовательности:
\(c_1 = 5 \cdot 2 = 10\)
\(c_2 = 5 \cdot 5 = 25\)
\(c_3 = 5 \cdot 8 = 40\)

Мы видим, что новая последовательность \(c_n\) также является арифметической прогрессией с разностью \(d = 3\). Таким образом, этот пример подтверждает наше утверждение.

Мы доказали, что если каждый член арифметической прогрессии \(a_n\) увеличить или умножить на одно и то же число, то полученная последовательность будет арифметической прогрессией с такой же разностью. Приведенные примеры демонстрируют этот факт.