а) Докажите, что для треугольника с прямым углом справедливы следующие равенства: квадрат стороны a равен произведению

Давайте начнем с доказательства первой части задачи. У нас есть треугольник с прямым углом, где a - гипотенуза, b - катет, а c - второй катет.

Чтобы доказать, что квадрат стороны a равен произведению сторон c и ac, давайте воспользуемся теоремой Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Применим эту теорему к нашему треугольнику:
$$a^2=b^2+c^2$$

Теперь, учитывая, что $b=ac$, мы можем заменить $b^2$ в уравнении:
$$a^2=(ac{)}^2+c^2$$

Факторизуем $c^2$ в правой части уравнения:
$$a^2=a^2{c}^2+c^2$$

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель $a^2$ в обоих частях уравнения. Мы можем его вынести и упростить выражение:
$$a^2=c^2(a^2+1)$$

Таким образом, мы доказали, что квадрат стороны a равен произведению сторон c и ac.

Теперь перейдем ко второй части задачи. Нам дан треугольник со сторонами a, b и c, а также углом a.

Для определения значений стороны c, стороны b и косинуса угла a нам понадобятся формулы тригонометрии.

1. Значение стороны c:
Мы знаем, что косинус угла a равен отношению прилежащего катета (стороны b) к гипотенузе (стороне c):
$$\cos (a)=\frac{b}{c}$$
Отсюда можно выразить сторону c:
$$c=\frac{b}{\cos (a)}$$

2. Значение стороны b:
Мы уже знаем, что $b=ac$, поэтому:
$$b=ac$$

3. Значение косинуса угла a:
Мы можем найти косинус угла a с помощью обратной функции косинуса:
$$\cos (a)=\frac{b}{c}$$
$$a=\arccos \left(\frac{b}{c}\right)$$

Теперь перейдем к третьей части задачи.

Нам дан треугольник со сторонами a, b и c, углом a, а также задано значение тангенса угла a.

Чтобы найти значения высоты h и стороны c, нам понадобятся формулы тригонометрии и связь между тангенсом и синусом угла.

1. Значение высоты h:
Мы знаем, что синус угла a равен отношению противолежащего катета (высоты h) к гипотенузе (стороне c):
$$\sin (a)=\frac{h}{c}$$
Отсюда можно выразить высоту h:
$$h=c\sin (a)$$

2. Значение стороны c:
Мы уже знаем, что $c=\frac{b}{\cos (a)}$, поэтому:
$$c=\frac{b}{\cos (a)}$$

Теперь у нас также есть информация о тангенсе угла a. Мы знаем, что тангенс угла a равен отношению противолежащего катета (высоты h) к прилежащему катету (стороне b):
$$\tan (a)=\frac{h}{b}$$
Отсюда можно найти значение b:
$$b=\frac{h}{\tan (a)}$$

Теперь у нас есть значения высоты h и стороны c.