а) Докажите, что для треугольника с прямым углом справедливы следующие равенства: квадрат стороны a равен произведению

Давайте начнем с доказательства первой части задачи. У нас есть треугольник с прямым углом, где a - гипотенуза, b - катет, а c - второй катет.

Чтобы доказать, что квадрат стороны a равен произведению сторон c и ac, давайте воспользуемся теоремой Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Применим эту теорему к нашему треугольнику:
\[a^2 = b^2 + c^2\]

Теперь, учитывая, что \(b = ac\), мы можем заменить \(b^2\) в уравнении:
\[a^2 = (ac)^2 + c^2\]

Факторизуем \(c^2\) в правой части уравнения:
\[a^2 = a^2c^2 + c^2\]

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель \(a^2\) в обоих частях уравнения. Мы можем его вынести и упростить выражение:
\[a^2 = c^2(a^2 + 1)\]

Таким образом, мы доказали, что квадрат стороны a равен произведению сторон c и ac.

Теперь перейдем ко второй части задачи. Нам дан треугольник со сторонами a, b и c, а также углом a.

Для определения значений стороны c, стороны b и косинуса угла a нам понадобятся формулы тригонометрии.

1. Значение стороны c:
Мы знаем, что косинус угла a равен отношению прилежащего катета (стороны b) к гипотенузе (стороне c):
\[\cos(a) = \frac{b}{c}\]
Отсюда можно выразить сторону c:
\[c = \frac{b}{\cos(a)}\]

2. Значение стороны b:
Мы уже знаем, что \(b = ac\), поэтому:
\[b = ac\]

3. Значение косинуса угла a:
Мы можем найти косинус угла a с помощью обратной функции косинуса:
\[\cos(a) = \frac{b}{c}\]
\[a = \arccos\left(\frac{b}{c}\right)\]

Теперь перейдем к третьей части задачи.

Нам дан треугольник со сторонами a, b и c, углом a, а также задано значение тангенса угла a.

Чтобы найти значения высоты h и стороны c, нам понадобятся формулы тригонометрии и связь между тангенсом и синусом угла.

1. Значение высоты h:
Мы знаем, что синус угла a равен отношению противолежащего катета (высоты h) к гипотенузе (стороне c):
\[\sin(a) = \frac{h}{c}\]
Отсюда можно выразить высоту h:
\[h = c\sin(a)\]

2. Значение стороны c:
Мы уже знаем, что \(c = \frac{b}{\cos(a)}\), поэтому:
\[c = \frac{b}{\cos(a)}\]

Теперь у нас также есть информация о тангенсе угла a. Мы знаем, что тангенс угла a равен отношению противолежащего катета (высоты h) к прилежащему катету (стороне b):
\[\tan(a) = \frac{h}{b}\]
Отсюда можно найти значение b:
\[b = \frac{h}{\tan(a)}\]

Теперь у нас есть значения высоты h и стороны c.