а) Доказать, что угол между плоскостями ABS и ABC равен 60°. б) Найти площадь треугольника

Давайте начнем с доказательства угла между плоскостями ABS и ABC, равного 60°.

Для начала, давайте установим, что угол между двумя плоскостями может быть найден как угол между их нормалями. Нормальный вектор плоскости - это вектор, перпендикулярный плоскости и имеющий длину равной единице.

Пусть векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) будут векторами, принадлежащими плоскости ABS, а вектор \(\vec{AB}\) будет вектором, принадлежащим плоскости ABC.

Теперь найдем нормали к плоскостям. Нормальный вектор к плоскости можно найти как векторное произведение двух ее ненулевых направляющих векторов.

Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) лежат на плоскости ABS, поэтому мы можем найти их векторное произведение:
\(\vec{N_1} = \vec{AB} \times \vec{AC}\)

Аналогично, вектор \(\vec{AB}\) лежит на плоскости ABC, поэтому мы можем найти векторное произведение с вектором \(\vec{AB\):
\(\vec{N_2} = \vec{AB} \times \vec{AB}\)

Затем нормализуем оба вектора, чтобы получить нормальные векторы:
\(\hat{N_1} = \frac{\vec{N_1}}{|\vec{N_1}|}\)
\(\hat{N_2} = \frac{\vec{N_2}}{|\vec{N_2}|}\)

Теперь мы можем найти угол между векторами \(\hat{N_1}\) и \(\hat{N_2}\), чтобы найти угол между плоскостями ABS и ABC. Для этого используем скалярное произведение:
\(\cos(\theta) = \frac{\hat{N_1} \cdot \hat{N_2}}{|\hat{N_1}| \cdot |\hat{N_2}|}\)

Таким образом, угол между плоскостями ABS и ABC будет:
\(\theta = \arccos\left(\frac{\hat{N_1} \cdot \hat{N_2}}{|\hat{N_1}| \cdot |\hat{N_2}|}\right)\)

Теперь перейдем к второй части задачи - нахождению площади треугольника.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона. Формула Герона гласит, что площадь треугольника равна квадратному корню из произведения полупериметра треугольника на разность полупериметра и длины каждой стороны треугольника.

Для нахождения площади треугольника, вам понадобятся длины всех трех сторон треугольника. Пусть стороны треугольника будут обозначены как AB, BC и AC.

Полупериметр треугольника можно найти, сложив длины всех сторон и поделив полученную сумму на 2:
\(s = \frac{AB + BC + AC}{2}\)

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу Герона:
\(S = \sqrt{s \cdot (s-AB) \cdot (s-BC) \cdot (s-AC)}\)

Таким образом, мы можем найти площадь треугольника, используя данные стороны AB, BC и AC.

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам лучше понять, как доказать угол между плоскостями и как найти площадь треугольника. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.