Какова площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом, равным квадратному корню

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Понимание правильного шестиугольника и вписанной окружности.
Правильный шестиугольник - это многоугольник с шестью равными сторонами и углами. Вписанная окружность - это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника и касается всех его сторон.

Шаг 2: Радиус вписанной окружности.
Нам дано, что радиус вписанной окружности равен квадратному корню из некоторого значения. Пусть это значение будет обозначено как \( r \). Тогда радиус вписанной окружности равен \( r \).

Шаг 3: Поиск стороны правильного шестиугольника.
Для нахождения стороны правильного шестиугольника воспользуемся свойством вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра окружности до любой стороны правильного шестиугольника. Пусть сторона правильного шестиугольника равна \( s \).
Тогда \( s = 2r \).
Таким образом, сторона правильного шестиугольника равна удвоенному радиусу вписанной окружности.

Шаг 4: Нахождение площади правильного шестиугольника.
Площадь правильного шестиугольника можно найти, разделив его на шесть равносторонних треугольников и затем находя площадь одного такого треугольника.

Площадь треугольника можно найти с использованием формулы Герона:
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \],
где \( S \) - площадь треугольника, \( a, b, c \) - длины сторон треугольника, \( p \) - полупериметр треугольника.

В нашем случае, сторона треугольника равна \( s \) и можно использовать формулу Герона для вычисления площади одного треугольника. Поскольку все стороны треугольника равны, мы можем записать \((s, s, s)\) и \( p = \frac{s + s + s}{2} = \frac{3s}{2} \).

Тогда площадь одного треугольника будет:
\[ S_{\text{одного треугольника}} = \sqrt{\frac{3s}{2}\left(\frac{3s}{2} - s\right)\left(\frac{3s}{2} - s\right)\left(\frac{3s}{2} - s\right)} \].

Перейдем к упрощению формулы:
\[ S_{\text{одного треугольника}} = \sqrt{\frac{3s}{2}\cdot \frac{s}{2}\cdot \frac{s}{2}\cdot \frac{s}{2}} \].

Упростим эту формулу дальше:
\[ S_{\text{одного треугольника}} = \sqrt{\frac{3s^4}{16}} \].

Так как в правильном шестиугольнике шесть таких треугольников, площадь всего шестиугольника будет:
\[ S_{\text{шестиугольника}} = 6 \times S_{\text{одного треугольника}} \].
Подставим значение \( S_{\text{одного треугольника}} \) и получим:
\[ S_{\text{шестиугольника}} = 6 \times \sqrt{\frac{3s^4}{16}} \].

Теперь у нас есть выражение для площади шестиугольника в зависимости от его стороны \( s \).
Так как нам изначально дан радиус вписанной окружности \( r \), а не сторона \( s \), мы можем использовать связь между радиусом и стороной правильного шестиугольника, чтобы выразить площадь через радиус.

Так как \( s = 2r \), мы можем заменить \( s \) в выражении для площади шестиугольника и получить:
\[ S_{\text{шестиугольника}} = 6 \times \sqrt{\frac{3(2r)^4}{16}} \].
Упростим эту формулу:
\[ S_{\text{шестиугольника}} = 6 \times \sqrt{\frac{48r^4}{16}} \].
\[ S_{\text{шестиугольника}} = 6 \times \sqrt{3r^4} \].
\[ S_{\text{шестиугольника}} = 6 \times r^2 \sqrt{3} \].

Таким образом, площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом, равным квадратному корню из некоторого значения, составляет \( 6 \times r^2 \sqrt{3} \).