а) 3 часа 40 минут; б) 1 час 8 минут. 9. Пусть два угла имеют общую вершину, и биссектриса одного из них является

9. Для доказательства того, что два угла являются вертикальными, мы должны показать, что у них смежные стороны параллельны, а другие две стороны образуют прямой угол.

Пусть у нас есть два угла, обозначим их как \( \angle A\) и \( \angle B\).

Дано, что биссектриса одного из углов (пусть это будет \( \angle B\)) является продолжением биссектрисы другого угла (\( \angle A\)). Это означает, что обе биссектрисы лежат на одной линии.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный этими двумя углами и линией их общей вершины. Мы можем применить теорему углов треугольника, которая гласит, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).

Угол между биссектрисами может быть обозначен как \( \angle C\). Также в треугольнике у нас есть углы \( \angle A\) и \( \angle B\).

Используя данную информацию, мы можем записать следующее уравнение для суммы углов треугольника:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

Так как биссектриса одного из углов является продолжением биссектрисы другого угла, мы можем сделать предположение о равенстве углов между ними. Это означает, что \( \angle A = \angle B = \frac{\angle C}{2} \).

Заменив в уравнении значения углов, получим:

\[ \frac{\angle C}{2} + \frac{\angle C}{2} + \angle C = 180^\circ \]

Приведя подобные члены, получим:

\[ \frac{3\angle C}{2} = 180^\circ \]

Умножим обе стороны на \(\frac{2}{3}\) для избавления от дроби:

\[ \angle C = \frac{2}{3} \times 180^\circ = 120^\circ \]

Теперь, зная значение угла \( \angle C\), мы можем найти величину двух углов \( \angle A\) и \( \angle B\). Так как биссектриса делит угол пополам, то

\[ \angle A = \angle B = \frac{\angle C}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \]

Таким образом, мы доказали, что углы \( \angle A\) и \( \angle B\) являются вертикальными.

10. Пусть имеются два угла с общей вершиной. Обозначим их как \( \angle A\) и \( \angle B\). Предположим, что стороны одного угла (\( \angle A\)) являются перпендикулярными сторонам другого угла (\( \angle B\)). Пусть разность между величинами углов равна \(x\).

Так как стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого угла, значит,

\[ \angle A + \angle B = 90^\circ \]

Также дано, что разность между величинами углов равна \(x\), то есть,

\[ \angle A - \angle B = x \]

Таким образом, у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
\angle A + \angle B &= 90^\circ \\
\angle A - \angle B &= x
\end{align*}
\]

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем сложить оба уравнения:

\[
(\angle A + \angle B) + (\angle A - \angle B) = 90^\circ + x
\]

Помним, что по определению сложения углов, сложение величин углов соответствует сложению мер углов. Таким образом,

\[
2\angle A = 90^\circ + x
\]

Разделим обе стороны на 2:

\[
\angle A = \frac{90^\circ + x}{2}
\]

Теперь, зная значение угла \( \angle A\), мы можем найти величину угла \( \angle B\). Подставим значение \( \angle A\) в любое из исходных уравнений:

\[
\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \frac{90^\circ + x}{2} = \frac{90^\circ - x}{2}
\]

Таким образом, мы нашли величины углов \( \angle A\) и \( \angle B\), исходя из заданных условий.