9. У прямокутному трикутнику КРЕ К = 90°, КР = 60°. На КР взято точку М таку, що МКР = 60°. Знайдіть МР, якщо

Для решения этой задачи нам нужно провести некоторые геометрические построения и применить известные теоремы о треугольниках.

Шаг 1: Нам нужно построить треугольник КРЕ. Возьмем точку К и проведем лучи КР и КЕ под прямыми углами друг к другу.

R
/|
/ |
/ |
K------E

Шаг 2: Из условия задачи нам дано, что угол КРЕ равен 90 градусов, а угол КР равен 60 градусов. По определению треугольника, сумма углов треугольника равна 180 градусов. Таким образом, угол РЕК также равен 30 градусов.

Шаг 3: Теперь давайте построим точку М на луче КР так, чтобы угол МКР был равен 60 градусам.

R
/ |\
/ | \
/ | \
K----M---E

Шаг 4: В треугольнике МКР у нас есть два угла известны - МКР (60 градусов) и КРМ (90 градусов), а значит, мы можем найти третий угол КМР, используя свойство суммы углов треугольника, который равен 180 градусам. Третий угол КМР равен 30 градусов.

Шаг 5: Теперь давайте рассмотрим треугольник МРК. У нас уже есть два угла известны - МКР (60 градусов) и КМР (30 градусов). Используя свойство суммы углов треугольника (равна 180 градусов), мы можем найти третий угол МРК, который равен 90 градусов. Таким образом, треугольник МРК является прямоугольным треугольником.

Шаг 6: Поскольку МРК - прямоугольный треугольник, то у нас есть теорема Пифагора, которая гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В данном случае, гипотенузой является сторона МР, а катетами - стороны МК и КР. Пусть МР = х, МК = а, КР = b.

Используя теорему Пифагора, мы получаем:

х^2 = а^2 + b^2 -- (1)

Шаг 7: Теперь давайте рассмотрим треугольник МКР, который также является прямоугольным. Из условия задачи мы знаем, что угол МКР равен 60 градусов, а сторона МК равна а. Поскольку МКР - прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрический закон синусов, чтобы найти длину стороны КР:

sin(60) = b / a -- (2)

Шаг 8: Мы можем решить уравнение (2) относительно b, чтобы найти длину стороны КР:

b = a * sin(60) -- (3)

Шаг 9: Теперь давайте заменим b в уравнении (1) и решим его относительно х:

x^2 = a^2 + (a * sin(60))^2
x^2 = a^2 + a^2 * sin^2(60)
x^2 = a^2 + a^2 * (0.866)^2
x^2 = a^2 + 0.75a^2
x^2 = 1.75a^2

Шаг 10: Чтобы найти длину стороны МР, возведем обе части уравнения в квадрат:

x = √(1.75a^2)
x = 1.3228a

Таким образом, длина стороны МР равна 1.3228*a.

Итак, мы нашли, что МР = 1.3228*a, где а - длина стороны МК.

Если вам дана конкретная длина стороны МК (например, а = 5), тогда вы можете вычислить длину стороны МР, подставив значение а в формулу. Затем, используя рассмотренные построения, вы можете определить физическую длину стороны МР.