9.20. Як таке мінімальне значення кутової швидкості обертання горизонтального диска потрібно встановити, щоб кубик

Щоб розрахувати мінімальне значення кутової швидкості обертання горизонтального диска, необхідно використовувати рівняння руху тіла, яке знаходиться на його краю.

Кутова швидкість обертання диска може бути визначена як \( \omega = \frac{v}{r} \), де \( v \) - лінійна швидкість тіла на краю диска, а \( r \) - радіус диска (половина його діаметра).

Так як кубик починає ковзати по поверхні диска, необхідна умова руху - сила тертя повинна перевищувати центростремительну силу.

Центростремительна сила \( F_{\text{ц}} = \frac{mv^2}{r} \), де \( m \) - маса кубика.

Сила тертя \( F_{\text{т}} = \mu \cdot N \), де \( \mu \) - коефіцієнт тертя, \( N \) - сила реакції опори.

Для того, щоб кубик міг почати ковзати, необхідно, щоб сила тертя була більша за центростремительну силу. Тому ми можемо записати нерівність:

\[ \mu \cdot N > \frac{mv^2}{r} \]

Сила реакції опори \( N \) може бути обчислена як \( N = mg \), де \( g \) - прискорення вільного падіння. Тоді:

\[ \mu \cdot mg > \frac{mv^2}{r} \]

Маса \( m \) кубика знімається від кожного боку рівняння, тому його можна скасувати:

\[ \mu \cdot g > \frac{v^2}{r} \]

Тоді можемо виразити \( v \):

\[ v > \sqrt{\mu \cdot g \cdot r} \]

Знаючи значення коефіцієнта тертя \( \mu = 0.3 \), прискорення вільного падіння \( g = 9.8 \, \text{м/c}^2 \) та радіус диска \( r = \frac{60}{2} \, \text{см} = 30 \, \text{см} = 0.3 \, \text{м} \), ми можемо підставити ці значення в рівняння:

\[ v > \sqrt{0.3 \cdot 9.8 \cdot 0.3} \]

\[ v > \sqrt{0.88} \]

\[ v > 0.94 \, \text{м/c} \]

Таким чином, мінімальне значення кутової швидкості обертання горизонтального диска, яке необхідно встановити, щоб кубик зміг почати ковзати по поверхні диска, становить 0.94 метра за секунду.