8. Какова длина основания равнобедренного треугольника, если его площадь равна 3√3, а угол между медианами

Для решения задачи, давайте воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и найдём необходимые значения.

Пусть основание равнобедренного треугольника будет \( b \), а высота проведена из вершины до основания и образует прямой угол с основанием - \( h \).

Зная площадь треугольника, мы можем использовать формулу для нахождения площади через основание и высоту:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \]

Также мы знаем, что угол между медианами, проведёнными к боковым сторонам, составляет 60°. Из свойств равнобедренного треугольника, мы знаем, что медиана, проведённая к основанию равна основанию \( b \). Угол между медианами прямоугольного треугольника равен 60°, поэтому легко можно найти высоту треугольника \( h \).

Рассмотрим треугольник, образованный медианами и основанием. У него два равных прямоугольных треугольника, сонаправленных с боковыми сторонами.

Таким образом, мы можем разделить равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника:

\( ABC \) и \( ABD \):

\[
\begin{align*}
|AB| &= |BD| = \frac{b}{2} \\
|AC| &= |CD| = h \\
\angle BAD = \angle BDA &= \angle BAC = 60° \\
\end{align*}
\]

Формируя вспомогательные уравнения для треугольников \( ABC \) и \( ABD \), мы можем приступить к решению задачи.

В треугольнике \( ABC \):

\[
\begin{align*}
\tan(\angle BAC) &= \frac{|AB|}{|AC|} \\
\tan(60°) &= \frac{\frac{b}{2}}{h} \\
\sqrt{3} &= \frac{\frac{b}{2}}{h} \\
2 \cdot \sqrt{3} \cdot h &= b \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем подставить это выражение для \( b \) в формулу для площади:

\[
\begin{align*}
3\sqrt{3} &= \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \sqrt{3} \cdot h) \cdot h \\
3\sqrt{3} &= \sqrt{3} \cdot h^2 \\
3 &= h^2 \\
h &= \sqrt{3} \\
\end{align*}
\]

После нахождения значения для \( h \), мы можем найти значение для \( b \) путём подстановки:

\[
\begin{align*}
b &= 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \\
b &= 6 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, длина основания равнобедренного треугольника равна 6.