1. В систему массового обслуживания (СМО) поступает, в среднем, 40 заявок в час. Найдите вероятность того, что

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Для начала, давайте переведем среднее количество заявок в минуты. Мы знаем, что в систему поступает, в среднем, 40 заявок в час. Таким образом, в одну минуту поступает \(40/60 = 2/3\) заявки.

Теперь посмотрим на каждый пункт задачи:
а) Найдем вероятность того, что за 6 минут поступит именно 5 заявок. Количество заявок можно моделировать с помощью пуассоновского распределения. Формула для этого равна:

\[
P(X = k) = \frac{(\lambda t)^k \cdot e^{-\lambda t}}{k!}
\]

где \(X\) - случайная величина, которая обозначает количество заявок, \(\lambda\) - среднее количество заявок в минуту, \(t\) - время в минутах, а \(k\) - искомое количество заявок.

В данной задаче \(\lambda = 2/3\), \(t = 6\) и \(k = 5\). Подставим значения в формулу:

\[
P(X = 5) = \frac{((2/3) \cdot 6)^5 \cdot e^{-(2/3) \cdot 6}}{5!}
\]

Вычислив эту формулу, получим вероятность того, что за 6 минут поступит именно 5 заявок.

б) Чтобы найти вероятность того, что за 6 минут поступит менее чем 5 заявок, нам нужно сложить вероятности поступления 0, 1, 2, 3 и 4 заявок. То есть:

\[
P(X < 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
\]

Вычислив каждую вероятность из формулы пуассоновского распределения, сложим их, чтобы получить окончательную вероятность.

в) Вероятность того, что за 6 минут поступит более чем 5 заявок можно найти как 1 минус вероятности поступления менее или равно 5 заявкам. То есть:

\[
P(X > 5) = 1 - P(X \leq 5)
\]

Вычислив вероятность поступления менее или равно 5 заявкам из пункта б), вычтем ее из 1, чтобы получить окончательную вероятность.

2. Теперь решим задачу с новыми значениями. В систему массового обслуживания (СМО) поступает, в среднем, 30 заявок в час. Чтобы получить среднее количество заявок в минуту, мы разделим это число на 60: \(30/60 = 1/2\).

Теперь приступим к каждому пункту задачи:
а) Вероятность того, что за 4 минуты в СМО поступит именно 4 заявки, можно вычислить, используя формулу пуассоновского распределения, подставив значения в формулу:

\[
P(X = 4) = \frac{((1/2) \cdot 4)^4 \cdot e^{-(1/2) \cdot 4}}{4!}
\]

б) Чтобы найти вероятность того, что за 4 минуты в СМО поступит менее чем 4 заявки, нужно сложить вероятности поступления 0, 1, 2 и 3 заявок. То есть:

\[
P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
\]

в) Вероятность того, что за 4 минуты в СМО поступит более чем 4 заявки можно найти как 1 минус вероятность поступления менее или равно 4 заявкам:

\[
P(X > 4) = 1 - P(X \leq 4)
\]

3. Для третьей задачи, в систему массового обслуживания (СМО) поступает, в среднем, 150 заявок в час. Значение k не указано, поэтому мы можем найти вероятность только для общего случая. Формула пуассоновского распределения применима здесь:

\[
P(X = k) = \frac{(\lambda t)^k \cdot e^{-\lambda t}}{k!}
\]

где \(X\) - случайная величина, \(\lambda\) - среднее количество заявок в минуту, \(t\) - время в минутах, \(k\) - искомое количество заявок.

Если вы уточните значение k, я смогу вычислить вероятность для этой задачи.

Обратите внимание, что все вычисления основаны на предположении, что заявки поступают в СМО случайным образом и независимы друг от друга. Также, я предполагаю, что вы знакомы с понятием пуассоновского распределения и его формулой. Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать.