8; 15; 17 Independent work on the topic: Solving triangles Variant 3. 1. Determine the type of triangle with sides

1. Определение типа треугольника с заданными сторонами:
Для определения типа треугольника воспользуемся правилом сравнения длин сторон. Из условия задачи у нас имеются следующие значения сторон: 8, 15 и 17. Сравним их между собой.

Первое правило: если длины любых двух сторон треугольника равны, то треугольник является равнобедренным.
Проверим, есть ли равные стороны. Страница 2 задания 3: 12 и 13 см.

Второе правило: если сумма длин двух сторон меньше длины третьей стороны, то треугольника не существует. В случае равенства суммы длин двух сторон и длины третьей стороны получаем треугольник с нулевой площадью.
Проверим это правило для трех сторон 8, 15 и 17.

Третье правило: если сумма длин двух сторон равна длине третьей стороны, то у треугольника будет прямой угол.
Рассмотрим случай, когддя сумма длин сторон 15 и 17 равна 32. В этом случае третья сторона 8 - нельзя получить прямой угол.

Таким образом, согласно поставленному в задаче набору значений сторон 8, 15 и 17, нельзя построить треугольник с заданными значениями.

2. Решение второй задачи:
У нас имеется треугольник с двумя сторонами, равными 12 см и 13 см, и углом между ними 60°. Найдём третью сторону треугольника и его площадь.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где c - третья сторона треугольника, а, b - известные стороны, C - угол между сторонами a и b.

Подставим известные значения в формулу:
\[c^2 = 12^2 + 13^2 - 2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \cos(60°)\]

Вычислим это выражение:
\[c^2 = 144 + 169 - 312 \cdot \cos(60°)\]

Используем тригонометрическую формулу:
\(\cos(60°) = \frac{1}{2}\)

\[c^2 = 144 + 169 - 312 \cdot \frac{1}{2}\]
\[c^2 = 313 - 156\]
\[c^2 = 157\]
\[c = \sqrt{157}\]

Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{157}\) см.

Чтобы найти площадь треугольника, воспользуемся формулой площади треугольника по стороне и высоте, которая равна \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\).
В треугольнике нам известны две стороны и угол между ними (a = 12 см, b = 13 см, C = 60°). Найдем третью сторону треугольника c по теореме косинусов (как мы уже сделали), затем найдем высоту h, опустив ее из вершины треугольника на сторону c.

Вычислим высоту треугольника h по формуле:
\(h = b \cdot \sin(C) = 13 \cdot \sin(60°)\)
\(h = 13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{13 \sqrt{3}}{2}\)

Теперь найдем площадь треугольника:
\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{13 \sqrt{3}}{2}\)
\(S = 6 \cdot \frac{13 \sqrt{3}}{2} = 39 \sqrt{3}\)

Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{157}\) см, а его площадь равна \(39 \sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

3. Решение третьей задачи:
У нас имеется треугольник со сторонами a = 10, b = 12 и углом A.
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов, используя запись формулы из предыдущей задачи:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Так как угол A является дополнением к углу C, то выполняется следующее равенство:
\[\cos(C) = \cos(180° - A) = -\cos(A)\]

Подставляем известные значения в формулу:
\[c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(A)\]

Вычислим это выражение:
\[c^2 = 100 + 144 - 240 \cdot \cos(A)\]

Используем тригонометрическую формулу:
\(\cos(A) = -\cos(C)\)

\[c^2 = 100 + 144 + 240 \cdot \cos(C)\]

Поскольку нам известны значения сторон треугольника a и b, а также угол A, мы можем вычислить третью сторону c.

\(\cos(A) = -\cos(C)\)

\(\cos(A) = -\cos(180° - A)\)

\(\cos(A) = -\cos(180° - A)\)

\(\cos(A) = -\cos(180° - A)\)

\(\cos(A) = -\cos(180° - A)\)

\(\cos(A) = -\cos(180° - A)\)