7. Возможно ли записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы каждое следующее число было делителем предыдущего

7. Для того чтобы определить, можно ли записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы каждое следующее число было делителем предыдущего числа, нужно внимательно рассмотреть условие задачи и проанализировать возможные варианты.

Обозначим первое число в круге как \(a_1\). Тогда второе число будет делителем \(a_1\), третье число будет делителем второго числа и так далее. Если продолжать этот процесс, то последнее число круга должно быть делителем первого числа \(a_1\).

Заметим, что последнее число должно быть максимально возможным в данном круге, а первое число должно быть минимальным. Пусть \(a_1\) — минимальное число, тогда последнее число круга может быть каким-то \(a_n\), где \(n\) — количество чисел в круге.

Таким образом, для того чтобы определить, возможно ли такая запись, нужно найти натуральное число \(n\), для которого последнее число \(a_n\) будет делителем минимального числа \(a_1\). Если такое число существует, то Макар неправ.

Давайте рассмотрим конкретный пример, чтобы лучше понять решение задачи:

Пусть \(a_1 = 1\), тогда если мы будем вписывать числа в круг по порядку, то получим следующую последовательность: 1, 1, 1, 1, 1, ...

Видим, что все числа в круге будут равны единице, и первое число является делителем каждого числа. Значит, для данного случая запись по кругу возможна и Макар неправ.

Теперь давайте рассмотрим другой пример:

Пусть \(a_1 = 2\), тогда если мы будем вписывать числа в круг по порядку, то получим следующую последовательность: 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

Видим, что каждое следующее число является делителем предыдущего числа. При этом последнее число не является делителем первого числа 2. Значит, для данного случая запись по кругу невозможна и Макар прав.

Обобщая это рассуждение, можно сказать, что возможность записи 2015 натуральных чисел по кругу так, чтобы каждое следующее число было делителем предыдущего числа, зависит от выбора первого числа \(a_1\). Если у нас есть делители первого числа, которые меньше самого первого числа, то невозможно выполнить условие задачи, и Макар прав. В противном случае, если все делители первого числа больше самого первого числа, то запись по кругу возможна, и Макар неправ.

8. Для решения этой задачи нам нужно определить, сколько диагоналей есть в правильном 2018-угольнике и выбрать наименьшее количество диагоналей, чтобы гарантированно найти две диагонали с одинаковой длиной.

В правильном \(n\)-угольнике количество диагоналей можно найти по формуле \(d = \frac{n(n-3)}{2}\), где \(d\) — количество диагоналей.

Для \(n = 2018\) количество диагоналей будет равно \(d = \frac{2018(2018-3)}{2} = 2027079\).

Теперь рассмотрим наименьшее количество диагоналей, которые нужно выбрать, чтобы гарантированно найти две диагонали с одинаковой длиной.

Пусть \(m\) — минимальное количество диагоналей для нашей задачи. Тогда справедлива следующая формула: \(m \geq \sqrt{2d}\), где \(d\) — количество диагоналей.

Подставим значение для \(d\) и получим: \(m \geq \sqrt{2 \cdot 2027079} \approx 2018\).

Таким образом, наименьшее количество диагоналей, которые нужно выбрать, чтобы гарантированно найти две диагонали с одинаковой длиной, равно 2018.

9. Чтобы определить, сколько площади в дециметрах квадратных (дм²) юный художник может покрасить, используя всю краску из обеих банок, нужно знать сколько площади можно покрасить одним литром краски, а также сколько литров краски содержится в каждой банке.

Предположим, что юный художник знает, сколько площади можно покрасить одним литром краски, и вся краска из банок выдается в литрах. Обозначим эти значения как \(P\) (количество площади в дециметрах квадратных, покрываемой одним литром краски), \(V_1\) (количество краски в первой банке в литрах) и \(V_2\) (количество краски во второй банке в литрах).

Тогда общая площадь, которую можно покрасить, равна \(P \cdot (V_1 + V_2)\) (площадь, покрываемая одним литром краски, умноженная на сумму количества краски в обеих банках).

Пожалуйста, уточните, какие конкретные значения \(P\), \(V_1\) и \(V_2\) даны в условии задачи, чтобы я могу подсчитать общую площадь, которую можно покрасить.