Треугольник ABC имеет прямой угол C, BC = 8 и tg A = 1,6. Какова длина стороны?

Для решения данной задачи, мы будем использовать теорему Пифагора и теорему тангенсов.

Первым шагом, нам необходимо определить длину стороны AC треугольника ABC.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае, сторона BC является гипотенузой, а сторона AC является одним из катетов. Другой катет обозначим за x.

Поэтому, согласно теореме Пифагора, мы можем написать следующее уравнение:

\[AC^2 = BC^2 - x^2\]

Так как BC = 8, то мы можем заменить значение BC в уравнении:

\[AC^2 = 8^2 - x^2\]

Теперь мы можем перейти к определению значения x. Мы знаем, что тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (в нашем случае, стороны AC) к прилежащему катету (x):

\[tgA = \frac{AC}{x}\]

Заменим значение tgA на 1,6:

\[1,6 = \frac{AC}{x}\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[AC^2 = 8^2 - x^2\]
\[1,6 = \frac{AC}{x}\]

Для решения этой системы уравнений мы можем воспользоваться методом подстановки.

Из второго уравнения мы можем выразить AC:

\[AC = 1,6x\]

Теперь мы можем подставить это значение в первое уравнение:

\[(1,6x)^2 = 64 - x^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[2,56x^2 = 64 - x^2\]

Добавим \(x^2\) к обеим сторонам:

\[2,56x^2 + x^2 = 64\]

Сложим коэффициенты при \(x^2\):

\[3,56x^2 = 64\]

Теперь разделим обе стороны на 3,56:

\[x^2 = \frac{64}{3,56}\]

Вычисляем дробь:

\[x^2 \approx 17,98\]

Чтобы найти значение x, найдем квадратный корень из этой дроби:

\[x \approx \sqrt{17,98}\]

Или, округляя до двух значащих цифр:

\[x \approx 4,24\]

Таким образом, мы нашли значение одного катета x, которое приближенно равно 4,24.

Теперь, чтобы найти длину стороны AC, мы можем вернуться к уравнению:

\[AC = 1,6x\]

Подставим значение x:

\[AC = 1,6 \cdot 4,24\]

\[AC \approx 6,78\]

Итак, длина стороны AC составляет приближенно 6,78.