Каково количество корней уравнения √2 cos(90+x)sin(90-x)=sin(270+x) в интервале (-250, 150)?

Давайте решим задачу пошагово.

Шаг 1: Приведение уравнения к виду, удобному для решения.

В данной задаче нам дано уравнение √2 cos(90+x)sin(90-x)=sin(270+x), и мы хотим найти количество корней этого уравнения в интервале (-250, 150).

Для начала, преобразуем тригонометрические функции в удобный вид. Заметим, что cos(90+x) = -sin(x) и sin(90-x) = cos(x).

Теперь уравнение имеет вид: √2 (-sin(x)) cos(x) = sin(270+x).

Шаг 2: Применение преобразований и упрощение уравнения.

Умножим обе части уравнения на √2, чтобы убрать корень.

Теперь уравнение принимает вид: -2sin(x)cos(x) = √2sin(270+x).

Обратите внимание, что также можно записать sin(270+x) как -cos(x).

Теперь уравнение становится: -2sin(x)cos(x) = √2(-cos(x)).

Шаг 3: Применение идентичностей тригонометрии.

Давайте воспользуемся идентичностью синуса и косинуса: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Теперь уравнение можно записать как: -sin(2x) = -√2cos(x).

Получается, что мы привели уравнение к виду, где в левой части стоит синус, а в правой - косинус.

Шаг 4: Анализ количества корней.

Теперь рассмотрим интервал (-250, 150) и посмотрим, сколько раз уравнение -sin(2x) = -√2cos(x) пересекает ось x в этом интервале.

Мы заметим, что sin(2x) и cos(x) оба определены и неположительны на этом интервале.

Уравнение -sin(2x) = -√2cos(x) эквивалентно sin(2x) = √2cos(x), так как мы можем поменять знаки с обеих сторон.

Мы знаем, что sin(x) > 0 и cos(x) > 0 на интервале (-250, 150).

Из этого следует, что sin(2x) > 0 и cos(x) > 0 на этом интервале.

Таким образом, у нас нет ни одной точки пересечения уравнения sin(2x) = √2cos(x) с осью x на интервале (-250, 150).

Следовательно, количество корней уравнения √2 cos(90+x)sin(90-x)=sin(270+x) в интервале (-250, 150) равно нулю.