5. Встановити відповідність між умовами (1-4) та їх розв язками (А-Д): 1. У двох перпендикулярних площинах, перетину

Давайте розглянемо кожну задачу окремо і знайдемо їх розв"язки.

1. У двох перпендикулярних площинах, перетину опущено перпендикуляри SO і PO. SO = 9, PO = 12. Яка є відстань між точками SiP?

Відстань між точками можна знайти за допомогою теореми Піфагора. У даному випадку ми маємо прямокутний трикутник SOP, де SO - одна катет, PO - другий катет, а відстань між точками SiP - гіпотенуза.

Використовуючи теорему Піфагора, ми отримуємо:

\[SiP = \sqrt{{SO^2 + PO^2}} = \sqrt{{9^2 + 12^2}} = \sqrt{{81 + 144}} = \sqrt{{225}} = 15\]

Таким чином, відстань між точками SiP дорівнює 15.

2. Дано куб зі стороною 8. Знайти довжину проекції діагоналі бічної грані на площину, що лежить під нею.

Спочатку розглянемо, яка є діагональ бічної грані куба. Застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутника, утвореного стороною куба і його діагоналлю:

\[Діагональ^2 = Сторона^2 + Сторона^2 + Сторона^2 = 3 \cdot Сторона^2\]

Тому діагональ бічної грані дорівнює: \(Діагональ = \sqrt{{3 \cdot Сторона^2}} = \sqrt{{3 \cdot 8^2}} = \sqrt{{3 \cdot 64}} = \sqrt{{192}}\)

Щоб знайти проекцію діагоналі бічної грані на площину, для початку необхідно зобразити бічну грань куба та проекцію на площину:

\[

+------+ B
/ /
/ /
+------+
/ |
C / |
/ |
А /______|

P


\]

Тут АВС - бічна грань куба, а Р - точка на площині під гранню АВС. Проекцію діагоналі бічної грані позначимо як РА.

Враховуючи співвідношення між схожими трикутниками АРС і АВС (трикутники з подібними кутами), ми можемо записати наступну рівність:

\[\frac{{АР}}{{АС}} = \frac{{РА}}{{АВ}}\]

Підставляючи відповідні значення, ми маємо:

\[\frac{{АР}}{{8}} = \frac{{РА}}{{Діагональ}}\]

Знаючи, що діагональ дорівнює \(\sqrt{{192}}\), можемо виразити АР:

\[АР = \frac{{8 \cdot РА}}{{\sqrt{{192}}}}\]

Останнє, що нам потрібно зробити - це знайти РА. Тут варто використати теорему Піфагора для трикутника РАС:

\[РА^2 = АС^2 - АР^2 = 8^2 - \left(\frac{{8 \cdot РА}}{{\sqrt{{192}}}}\right)^2\]

Розкриваємо дужки та обчислюємо:

\[РА^2 = 64 - \frac{{64 \cdot РА^2}}{{192}}\]

Ми маємо рівняння з однією невідомою, РА. Розв"язуємо його:

\[РА^2 + \frac{{РА^2}}{{3}} = 64\]
\[\frac{{4 \cdot РА^2}}{{3}} = 64\]
\[РА^2 = \frac{{64 \cdot 3}}{{4}}\]
\[РА = \sqrt{{48}} = \sqrt{{16 \cdot 3}} = 4\sqrt{{3}}\]

Отже, довжина проекції діагоналі бічної грані на площину дорівнює \(4\sqrt{{3}}\).

3. ВК є перпендикуляром до площини рівнобедреного трикутника ABC з основою AC. Медіана BN дорівнює 4, а BK дорівнює 3. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного з точки К до прямої АС.

Задача передбачає використання властивостей серединного перпендикуляру в рівнобедреному трикутнику. Для початку позначимо середину основи трикутника АС як М. Щоб знайти відстань від точки К до прямої АС, потрібно знайти висоту треугольника КМС.

Оскільки ВК - серединний перпендикуляр, то \(BK = \frac{{BN}}{{2}} = \frac{{4}}{{2}} = 2\)

Враховуючи властивість серединного перпендикуляра в рівнобедреному трикутнику, отримуємо, що висота КМС дорівнює \(\sqrt{{BK^2 - KM^2}}\).

Підставляємо значення власне, маємо:

\[Висота = \sqrt{{2^2 - KM^2}} = \sqrt{{4 - KM^2}}\]

Інформації про KM нам не вистачає. Але, оскільки ОК є висотою відносно прямокутного трикутника АКС, ми можемо скористатися теоремою Піфагора:

\[ОК^2 + KM^2 = AK^2\]

Підставляємо відомі значення:

\[3^2 + KM^2 = AK^2\]

Після спрощення ми маємо рівняння:

\[9 + KM^2 = AK^2\]

Якщо ми виразимо KM^2, то отримаємо таке:

\[KM^2 = AK^2 - 9\]

Тепер, підставляючи отримане значення KM^2 у формулу для висоти, маємо таке:

\[Висота = \sqrt{{4 - (AK^2 - 9)}} = \sqrt{{13 - AK^2}}\]

Інформації щодо AK нам також не вистачає. Але, оскільки треугольник ABC - рівнобедрений, то ми знаємо, що AK = KC. Отже, змінивши АК на КС у формулі, ми отримаємо:

\[Висота = \sqrt{{13 - KC^2}}\]

Окрім того, ми знаємо, що АС = 2 \cdot АК. Отже, виразимо AK через АС:

\(AK = \frac{{AC}}{{2}}\)

Підставляючи відому значення АК та значення висоти, отримаємо:

\[Висота = \sqrt{{13 - \left(\frac{{AC^2}}{{2}}\right)}}\]

4. Основа трикутної піраміди - прямокутний трикутник ABC з прямим кутом С. Ребро піраміди має довжину

Ця задача передбачає застосування теореми Піфагора. У прямокутному трикутнику ABC, ребро піраміди - гіпотенуза трикутника, тобто \(r = \sqrt{{AB^2 + BC^2}}\).

Підставляючи значення, отримуємо:

\[r = \sqrt{{AB^2 + BC^2}} = \sqrt{{x^2 + x^2}} = \sqrt{{2x^2}} = x\sqrt{{2}}\]

Таким чином, довжина ребра піраміди дорівнює \(x\sqrt{{2}}\).

Я надіюся, що ці пошагові розв"язки допомогли вам зрозуміти задачі та їх розв"язання. Будь ласка, повідомте мене, якщо є щось інше, чим я можу вам допомогти.