5. Какое минимальное значение может иметь сумма CX+XD, где точка Х принадлежит прямой с, а точки С и D лежат в одной

Данная задача требует нам найти минимальное значение выражения \(CX + XD\), где точка \(X\) принадлежит прямой \(c\), а точки \(C\) и \(D\) лежат в одной полуплоскости относительно этой прямой и на нее опущены перпендикуляры \(CC_1\) и \(DD_1\) соответственно. Известно, что длины отрезков \(СС_1\), \(DD_1\) и \(C_1D_1\) равны 3 см, 6 см и 2 см соответственно.

Для начала, обратим внимание на геометрические свойства этой проблемы. В данном случае, сумма \(CX + XD\) будет минимальна, когда отрезок \(CD\) будет являться диаметром окружности, описанной вокруг треугольника \(CC_1D_1\). Такой треугольник называется окружностным.

Теперь построим окружность с центром в точке \(O\) (середине отрезка \(C_1D_1\)) и радиусом \(R\) (половина длины отрезка \(C_1D_1\)). Таким образом, \(R = \frac{1}{2}C_1D_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{см} = 1 \, \text{см}\).

Из свойств окружности мы знаем, что диаметр является наибольшей хордой окружности. Следовательно, отрезок \(CD\) является диаметром окружности, и его длина будет равна диаметру, то есть \(CD = 2R = 2 \cdot 1 \, \text{см} = 2 \, \text{см}\).

Осталось найти значение суммы \(CX + XD\). Поскольку \(CD\) является диаметром окружности, для любой точки \(X\), лежащей на этой окружности, сумма \(CX + XD\) будет равна длине диаметра окружности и равна \(2 \, \text{см}\).

Таким образом, минимальное значение суммы \(CX + XD\) равно \(2 \, \text{см}\).